Cho các số thực \(x,y,z\) thỏa mãn \({\log _{16}}\left( {\frac{{x + y + z}}{{2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 1}}} \right) = x\left( {x – 2} \right) + y\left( {y – 2} \right) + z\left( {z – 2} \right)\). Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \(F = \frac{{x + y – z}}{{x + y + z}}\) bằng?

Câu hỏi:

Cho các số thực \(x,y,z\) thỏa mãn \({\log _{16}}\left( {\frac{{x + y + z}}{{2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 1}}} \right) = x\left( {x – 2} \right) + y\left( {y – 2} \right) + z\left( {z – 2} \right)\). Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \(F = \frac{{x + y – z}}{{x + y + z}}\) bằng?

A. \( – \frac{1}{3}\).

B. \(\frac{2}{3}\).

C. \( – \frac{2}{3}\).

D. \(\frac{1}{3}\).

Lời giải

Chọn B

Ta có:

\({\log _{16}}\left( {\frac{{x + y + z}}{{2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 1}}} \right) = x\left( {x – 2} \right) + y\left( {y – 2} \right) + z\left( {z – 2} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\log _{16}}\left( {x + y + z} \right) + 2\left( {x + y + z} \right) = {\log _{16}}\left( {2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 1} \right) + \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 2{\log _{16}}\left( {x + y + z} \right) + 4\left( {x + y + z} \right) = 2{\log _{16}}\left( {2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 1} \right) + 2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\log _4}\left( {x + y + z} \right) + 4\left( {x + y + z} \right) + 1 = {\log _4}\left( {2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 1} \right) + \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) + 1\)

\( \Leftrightarrow {\log _4}4\left( {x + y + z} \right) + 4\left( {x + y + z} \right) = {\log _4}\left( {2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 1} \right) + \left( {2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 1} \right)\)

Xét hàm số: \(f\left( t \right) = {\log _4}t + t\left( {t > 0} \right)\).

Hàm số luôn đồng biến trên tập xác định.

Suy ra: \(f\left( {4\left( {x + y + z} \right)} \right) = f\left( {2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 1} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 4\left( {x + y + z} \right) = 2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 2y – 2z + \frac{1}{2} = 0\,\,\left( S \right)\end{array}\)

Ta có mặt cầu: \(\left( S \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{I\left( {1;1;1} \right)}\\{R = \frac{{\sqrt {10} }}{2}}\end{array}} \right.\)

Ta có: \(F = \frac{{x + y – z}}{{x + y + z}} \Leftrightarrow \left( {F – 1} \right)x + \left( {F – 1} \right)y + \left( {F + 1} \right)z = 0\,\,\left( P \right)\)

Để mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) có điểm chung:

\(d\left[ {I;\left( P \right)} \right] \le R \Leftrightarrow \frac{{\left| {F – 1 + F – 1 + F + 1} \right|}}{{\sqrt {2{{\left( {F – 1} \right)}^2} + \left( {F + 1} \right)} }} \le \frac{{\sqrt {10} }}{2}\).

\( \Leftrightarrow 3{F^2} – 2F – 13 \le 0\).

\( \Leftrightarrow \frac{{1 – 2\sqrt {10} }}{3} \le F \le \frac{{1 + 2\sqrt {10} }}{3}\).

Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \(F = \frac{{x + y – z}}{{x + y + z}}\)bằng \(\frac{2}{3}\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số