Cho các số thực \(x,y\) thỏa mãn \(x \ge 0,y \ge 0,x + y = 1.\) Gọi \(M,m\) là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = (4{x^2} + 3y)(4{y^2} + 3x) + 25xy.\) Tổng \(M + m\) bằng

Câu hỏi:

Cho các số thực \(x,y\) thỏa mãn \(x \ge 0,y \ge 0,x + y = 1.\) Gọi \(M,m\) là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = (4{x^2} + 3y)(4{y^2} + 3x) + 25xy.\) Tổng \(M + m\) bằng

A. \(\frac{{391}}{{16}}\).

B. \(\frac{{383}}{{16}}\).

C. \(\frac{{49}}{2}\).

D. \(\frac{{25}}{2}\).

Lời giải

Chọn A

Từ \(x \ge 0,y \ge 0,\,\,1 = x + y \ge 2\sqrt {xy} \Rightarrow 0 \le xy \le \frac{1}{4}\).

Ta có \(S = (4{x^2} + 3y)(4{y^2} + 3x) + 25xy = 16{(xy)^2} + 12({x^3} + {y^3}) + 34xy\)

\( = 16{(xy)^2} + 12{(x + y)^3} – 36xy(x + y) + 34xy = 16{(xy)^2} – 2xy + 12\)

Bảng biến thiên:

Từ BBT ta suy ra:

\(m = \min S = \frac{{191}}{{16}}\) đạt tại \(x = \frac{{2 – \sqrt 3 }}{4};\,y = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{4}\)

\(M = \max S = \frac{{25}}{2}\) đạt tại \(x = y = \frac{1}{2}\).

Do đó \(M + m = \frac{{391}}{{16}}.\)

======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số