ĐỀ BÀI:
Cho các số thực \(x,y\) thỏa mãn điều kiện sau đây \(x > – 1,y > – 3\) và \({\log _2}\left[ {\left( {y + 3} \right)\left( {x + 1} \right)} \right] + \frac{{xy + 3x + y + 2}}{{x + 1}} = 0.\) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau đây \(P = x + 3y + 10\) thuộc tập nào dưới đây:
A. \(\left[ {1;3} \right)\).
B. \(\left[ {3;4} \right)\).
C. \(\left[ {4;5} \right)\).
D. \(\left[ {5;6} \right)\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Cách 1: Tự luận
Với điều kiện: \(x > – 1,y > – 3 \Rightarrow x + 1 > 0,y + 3 > 0\). Ta có:
\({\log _2}\left[ {\left( {y + 3} \right)\left( {x + 1} \right)} \right] + \frac{{xy + 3x + y + 2}}{{x + 1}} = 0\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {y + 3} \right) + {\log _2}\left( {x + 1} \right) + \left( {y + 3} \right) – \frac{1}{{x + 1}} = 0\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {y + 3} \right) + \left( {y + 3} \right) = {\log _2}\frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{{x + 1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Xét hàm số: \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\,\,\left( {t > 0} \right),f’\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0,\forall t > 0\).
Suy ra \(f\left( t \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\). Do đó: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow y + 3 = \frac{1}{{x + 1}}\).
Khi đó: \(P = x + 3y + 10 = x + 3\left( {\frac{1}{{x + 1}} – 3} \right) + 10 = x + 1 + \frac{3}{{x + 1}} \ge 2\sqrt 3 \)
Dấu xảy \( \Leftrightarrow P = x + 1 + \frac{3}{{x + 1}} \Leftrightarrow 3 = {\left( {x + 1} \right)^2} \Leftrightarrow x = \sqrt 3 – 1\),.
Vậy \(\min P = 2\sqrt 3 \).
Cách 2: Tư duy + Casio
+ Áp dụng kĩ thuật CALC: Cho \(x = 0.01 \to y = \frac{{ – 203}}{{101}} = \frac{{ – 3x – 2}}{{x + 1}}\).
+ Ta lại có: \(P = x + 3y + 10 = x + 3.\frac{{ – 3x – 2}}{{x + 1}} + 10\).
![Cho các số thực (x,y) thỏa mãn điều kiện sau đây (x > - 1,y > - 3) và ({log _2}left[ {left( {y + 3} right)left( {x + 1} right)} right] + frac{{xy + 3x + y + 2}}{{x + 1}} = 0.) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau đây (P = x + 3y + 10) thuộc tập nào dưới đây:</p> 1](https://lh5.googleusercontent.com/pzla9Q1INDk1waBM2U58YpVwQ2ga0m5uVLcSr7JsMTydqu6qB7WmCbVf94q8yx_IjO00a_uScdAb4QaSSABFpGgq45NgkQeFRUxLG314bwRIaxRHVXeWY8obd-pIdSNvD1FCDzA "Cho các số thực (x,y) thỏa mãn điều kiện sau đây (x > - 1,y > - 3) và ({log _2}left[ {left( {y + 3} right)left( {x + 1} right)} right] + frac{{xy + 3x + y + 2}}{{x + 1}} = 0.) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau đây (P = x + 3y + 10) thuộc tập nào dưới đây:</p> 1")
Vậy \(\min P = 2\sqrt 3 \).
PHƯƠNG PHÁP CHUNG 1. ĐẠO HÀM g'(x) 2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x) 3. Lập BBT xét dấu g'(x) 4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán. ===========