Cho các số thực \(x,y\) thỏa mãn \({2^{{x^2} + {y^2} + 1}} \le \left( {{x^2} + {y^2} – 2x + 2} \right){4^x}\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = 3x – 4y + 1\).
A. \(6\).
B. \(9\).
C. \(8\).
D. \(7\) .
Lời giải chi tiết
PHÁT TRIỂN TƯƠNG TỰ CÂU 47 ĐỀ TOÁN THAM KHẢO 2021 CỦA BỘ.
BIÊN SOẠN TỪ STRONG TEAM TOÁN VDC – BIÊN TẬP WEB BOOKTOAN.COM
1. ĐẠO HÀM g'(x)
2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x)
3. Lập BBT xét dấu g'(x)
4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán.
+ Ta có \({2^{{x^2} + {y^2} + 1}} \le \left( {{x^2} + {y^2} – 2x + 2} \right){4^x}\)\( \Leftrightarrow {2^{{x^2} + {y^2} – 2x + 1}} \le {x^2} + {y^2} – 2x + 2\)
Đặt \(t = {x^2} + {y^2} – 2x + 1\left( {t \ge 0} \right)\) bất phương trình trở thành \({2^t} \le t + 1 \Leftrightarrow {2^t} – t – 1 \le 0 & \left( 1 \right)\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t} – t – 1\) với \(t \ge 0\).
Có \(f’\left( t \right) = {2^t}\ln 2 – 1\);\(f”\left( t \right) = {2^t}.{\left( {\ln 2} \right)^2} > 0,\forall t \ge 0 \Rightarrow \) hàm số \(f’\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\)
Mặt khác \(f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right) = 0\).
Ta có bảng biến thiên
Do đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( t \right) \le 0\)\( \Leftrightarrow 0 \le t \le 1\)\( \Rightarrow 0 \le {x^2} + {y^2} – 2x + 1 \le 1 \Leftrightarrow 0 \le {\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} \le 1\)
+ Ta biến đổi \(P = 3x – 4y + 1 = 3\left( {x – 1} \right) – 4y + 4\) .
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có \(\left| {3\left( {x – 1} \right) – 4y} \right| \le \sqrt {25\left[ {{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {y^2}} \right]} \le 5\)
\( \Rightarrow 3\left( {x – 1} \right) – 4y \le 5 \Rightarrow P \le 9\)\( \Rightarrow {P_{\max }} = 9.\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{\left( {x – 1} \right)}}{3} = \frac{y}{{ – 4}}\\{\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} = 1\\3\left( {x – 1} \right) – 4y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{8}{5}\\y = – \frac{4}{5}\end{array} \right.\)
Trả lời