Cho các số thực dương \(x,y\) thỏa mãn\({\log _{\frac{1}{2}}}x\, + \,{\log _{\frac{1}{2}}}y\,\, \le \,\,{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + {y^2}} \right)\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x + 3y\) là

Câu hỏi:

Cho các số thực dương \(x,y\) thỏa mãn\({\log _{\frac{1}{2}}}x\, + \,{\log _{\frac{1}{2}}}y\,\, \le \,\,{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + {y^2}} \right)\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x + 3y\) là

A. 9.

B. 8.

C. \(\frac{{25\sqrt 2 }}{4}\).

D. \(\frac{{17}}{2}\).

Lời giải

Chọn A

Ta có: \({\log _{\frac{1}{2}}}x\, + \,{\log _{\frac{1}{2}}}y\,\, \le \,\,{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + {y^2}} \right)\)\( \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}xy \le \,\,{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + {y^2}} \right)\)\( \Leftrightarrow \)\(xy \ge x + {y^2}\)\( \Leftrightarrow x\left( {y – 1} \right) \ge {y^2} > 0 \Rightarrow y > 1\) (Vì \(x;y > 0\))\( \Rightarrow x \ge \frac{{{y^2}}}{{y – 1}}\).

Ta có: \(P = x + 3y \ge \frac{{{y^2}}}{{y – 1}} + 3y = 4y + 1 + \frac{1}{{y – 1}}\).

Cách 1: \(P = 4y + 1 + \frac{1}{{y – 1}} = 4\left( {y – 1} \right) + \frac{1}{{y – 1}} + 5\)

Vì \(y > 1\)\( \Rightarrow P \ge 2\sqrt {4\left( {y – 1} \right)\frac{1}{{y – 1}}} + 5\)\( = 2.2 + 5 = 9\).

Dấu bằng xảy ra khi \({\left( {y – 1} \right)^2} = \frac{1}{4}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \frac{3}{2}\,\,\,(tm)\\y = \frac{1}{2}\,\,\,(l)\end{array} \right.\).

Cách 2:Xét hàm số: \(f\left( y \right) = 4y + 1 + \frac{1}{{y – 1}}\), với \(y > 1\).

Suy ra: \({f^{\rm{‘}}}\left( y \right) = 4 – \frac{1}{{{{\left( {y – 1} \right)}^2}}}\)\( \Rightarrow \)\({f^{\rm{‘}}}\left( y \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \frac{3}{2}\left( {tm} \right)\\y = \frac{1}{2}\left( l \right)\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số