Cho bất phương trình \(\log 10x + {\log ^2}x + 3 \ge m\log 100x\) với \(\,m\) là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị của \(m\) nguyên dương để bất phương trình có nghiệm thuộc \(\left[ {1; + \infty } \right)\). A. \(1\). B. \(3\). C. vô số\(\). D. \(2\)\(\).

Cho bất phương trình \(\log 10x + {\log ^2}x + 3 \ge m\log 100x\) với \(\,m\) là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị của \(m\) nguyên dương để bất phương trình có nghiệm thuộc \(\left[ {1; + \infty } \right)\).
A. \(1\). B. \(3\). C. vô số\(\). D. \(2\)\(\).
Lời giải chi tiết
PHÁT TRIỂN TƯƠNG TỰ CÂU 47 ĐỀ TOÁN THAM KHẢO 2021 CỦA BỘ.
BIÊN SOẠN TỪ STRONG TEAM TOÁN VDC – BIÊN TẬP WEB BOOKTOAN.COM

Tập xác định: \(D = \left[ {1; + \infty } \right)\).
\(\log 10x + {\log ^2}x + 3 \ge m\log 100x\)\( \Leftrightarrow m \le \frac{{\log 10x + {{\log }^2}x + 3}}{{\log 100x}} = \frac{{\log x + {{\log }^2}x + 4}}{{\log x + 2}}\).
Đặt \(t = \log x\)\(x \ge 1 \Rightarrow t \ge 0\), bất phương trình trở thành:\(m \le \frac{{{t^2} + t + 4}}{{t + 2}}\,\,\left( 2 \right)\).
Để bất phương trình ban đầu có nghiệm \(\left[ {1; + \infty } \right)\)thì bất phương trình \(\left( 2 \right)\) có nghiệm \(\left[ {0; + \infty } \right)\).
Xét \(f\left( t \right) = \frac{{{t^2} + t + 4}}{{t + 2}}\)trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\).
Trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\) ta có:\(f’\left( t \right) = \frac{{{t^2} + 4t – 2}}{{{{\left( {t + 2} \right)}^2}}},f’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 2 + \sqrt 6 ™\\x = – 2 – \sqrt 6 (l)\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên:

Bất phương trình \(\left( 2 \right)\) có nghiệm \(\left[ {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow m \le \mathop {m{\rm{ax}}}\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} {\rm{f}}\left( t \right) \Leftrightarrow m \le – 3 + 2\sqrt 6 \)
Mà m nguyên nên \(m = 1\). Vậy có \(1\) giá trị nguyên dương thõa mãn.