ĐỀ BÀI:
Cho bất phương trình \(\log 10x + {\log ^2}x + 3 \ge m.\log 100x\) với \(m\) là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị của \(m\) nguyên dương để bất phương trình có nghiệm với mọi \(x\) thuộc \(\left[ {1; + \infty } \right)?\)
A. \(1\).
B. \(3\).
C. vô số.
D. \(2\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
– Tự luận:
Tập xác định: \(D = \left[ {1; + \infty } \right)\)
Ta có: \(\log 10x + {\log ^2}x + 3 \ge m\log 100x \Leftrightarrow m \le \frac{{\log 10x + {{\log }^2}x + 3}}{{\log 100x}} = \frac{{\log x + {{\log }^2}x + 4}}{{\log x + 2}}\)
Đặt \(t = \log x,\,\,x \ge 1 \Rightarrow t \ge 0,\,\)bất phương trình trở thành: \(m \le \frac{{{t^2} + t + 4}}{{t + 2}}\,,\,\left( {t \ge 0} \right)\left( 2 \right)\)
Để bất phương trình ban đầu có nghiệm \(\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right)\) thì bất phương trình \(\left( 2 \right)\) có nghiệm \(\forall t \in \left[ {0; + \infty } \right).\)
Xét \(f\left( t \right) = \frac{{{t^2} + t + 4}}{{t + 2}}\) trên \(\left[ {0; + \infty } \right).\)
Trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\) ta có: \(f’\left( t \right) = \frac{{{t^2} + 4t – 2}}{{{{\left( {t + 2} \right)}^2}}},\,\,f’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = – 2 + \sqrt 6 \,\,\left( {tm} \right)}\\{x = – 2 – \sqrt 6 \,\,\left( l \right)}\end{array}} \right.\)
Bảng biến thiên:
Bất phương trình \(\left( 2 \right)\) có nghiệm trên \(\forall x \in \left[ {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} f\left( t \right) \Leftrightarrow m \le – 3 + 2\sqrt 6 \)
Mà \(m\) nguyên dương nên \(m = 1.\) Vậy có 1 giá trị nguyên dương thỏa mãn.
– Tư duy + C. asio:
Cô lập \(m\) nhanh: \(m \le \frac{{\log 10x + {{\log }^2}x + 3}}{{\log 100x}}.\) Dò bảng hoặc đạo hàm tại \(x.\)
Vậy \(m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} f\left( t \right) \Leftrightarrow m \le 1.89.\) Mà \(m\) nguyên dương nên \(m = 1.\)
PHƯƠNG PHÁP CHUNG 1. ĐẠO HÀM g'(x) 2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x) 3. Lập BBT xét dấu g'(x) 4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán. ===========