Cho \(a,\,b\) là các số nguyên dương nhỏ hơn \(2022\). Biết rằng với mỗi giá trị của \(b\) luôn có ít nhất \(1000\) giá trị của \(a\) thỏa mãn \(\left( {{2^{a + b + 2}} – {2^{b – a}}} \right).{\log _{a + 1}}\sqrt b > {4^b} – 1\). Số giá trị \(b\) là
A. \(1021\). B. \(1022\). C. \(1020\). D. \(1023\).
Lời giải chi tiết
PHÁT TRIỂN TƯƠNG TỰ CÂU 47 ĐỀ TOÁN THAM KHẢO 2021 CỦA BỘ.
BIÊN SOẠN TỪ STRONG TEAM TOÁN VDC – BIÊN TẬP WEB BOOKTOAN.COM
1. ĐẠO HÀM g'(x)
2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x)
3. Lập BBT xét dấu g'(x)
4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán.
Đặt \(c = a + 1,c \ge 2\), khi đó \(\left( {{2^{a + b + 2}} – {2^{b – a}}} \right).{\log _{a + 1}}\sqrt b > {4^b} – 1 \Leftrightarrow \left( {{2^c} – {2^{ – c}}} \right).{\log _c}b > {2^b} – {2^{ – b}},\,\left( 1 \right)\).
+) \(b = 1\), không thỏa mãn \(\left( 1 \right)\).
+) \(b = 2 \Rightarrow \frac{{{2^c} – {2^{ – c}}}}{{{{\log }_2}c}} > \frac{{15}}{4},\,\left( 2 \right)\).
•) \(c = 2\), không thỏa mãn \(\left( 2 \right)\).
•) \(\forall \,c \ge 3\), hàm \(f\left( c \right) = \frac{{{2^c} – {2^{ – c}}}}{{{{\log }_2}c}},f’\left( c \right) = \frac{{{2^c}\left( {c.\ln 2.\ln c – 1} \right) + c{{.2}^{ – c}}.\ln 2.\ln c + {2^{ – c}}}}{{c.\ln 2{{\left( {{{\log }_c}c} \right)}^2}}} > 0\).
Suy ra \(f\left( c \right) \ge f\left( 3 \right) > \frac{{15}}{4},\,\forall \,c \ge 3\, \Rightarrow 2 \le a \le 2021\). Do đó \(b = 2\)thỏa mãn.
+) \(b \ge 3\), \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{{{2^c} – {2^{ – c}}}}{{\ln c}} > \frac{{{2^b} – {2^{ – b}}}}{{\ln b}},\,\left( 3 \right)\).
Hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{{2^t} – {2^{ – t}}}}{{{{\log }_2}t}}\) đồng biến với mọi \(t \ge 3\) và \(c = 2\) không thỏa mãn \(\left( 3 \right)\) nên \(c \ge 3\).
Do đó \(\left( 3 \right) \Leftrightarrow c > b,\,\left( {b \ge 3} \right) \Rightarrow 3 \le b \le a \le 2021 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b \ge 3\\2021 – b + 1 \ge 1000\end{array} \right. \Rightarrow 3 \le b \le 1022\)
Vậy \(2 \le b \le 1022\).
Trả lời