Cho \(0 \le x \le {2021^{2022}}\) và \({\log _2}(2x + 2) + x – 3y = {8^y}\). Có bao nhiêu cặp số \((x\,;y)\) nguyên thỏa mãn các điều kiện trên?
A. \(2022\). B. \(10\). C. \(2021\). D. \(7402\).
Lời giải chi tiết
PHÁT TRIỂN TƯƠNG TỰ CÂU 47 ĐỀ TOÁN THAM KHẢO 2021 CỦA BỘ.
BIÊN SOẠN TỪ STRONG TEAM TOÁN VDC – BIÊN TẬP WEB BOOKTOAN.COM
1. ĐẠO HÀM g'(x)
2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x)
3. Lập BBT xét dấu g'(x)
4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán.
Do \(0 \le x \le {2021^{2022}}\) nên \({\log _2}(2x + 2)\) luôn có nghĩa.
Ta có :
\({\log _2}(2x + 2) + x – 3y = {8^y}\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}(x + 1) + x + 1 = 3y + {2^{3y}}\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}(x + 1) + {2^{{{\log }_2}(x + 1)}} = 3y + {2^{3y}}\) \((1)\)
Xét hàm số \(f(t) = t + {2^t}\)
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\) và \(f'(t) = 1 + {2^t}\ln 2\) \( \Rightarrow \) \(f'(t) > 0\), \(\forall t \in \mathbb{R}\)
Suy ra hàm số \(f(t)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
Do đó \((1) \Leftrightarrow {\log _2}(x + 1) = 3y\) \( \Leftrightarrow x + 1 = {2^{3y}}\)\( \Leftrightarrow y = {\log _8}(x + 1)\)
Ta có \(0 \le x \le {2021^{2022}}\) nên \(1 \le x + 1 \le {2021^{2022}} + 1\) suy ra \(0 \le {\log _8}(x + 1) \le {\log _8}({2021^{2022}} + 1)\)
Ta lại có: \({\log _8}({2021^{2022}}) < {\log _8}({2021^{2022}} + 1) < {\log _8}({2021^{2022}} + 2) \Leftrightarrow 7401.095 < {\log _8}({2021^{2022}} + 1) < 7401.428\)Mà \(y \in \mathbb{Z}\) nên \(y \in \left\{ {0\,;1\,;2\,;\left. {...;7401} \right\}} \right.\)
Vậy có \(7402\) cặp số \((x\,;y)\)nguyên thỏa yêu cầu bài toán.
Trả lời