Cho \(0 \le x \le 2021\) và \({\log _3}\left( {x + 1} \right) + x – 3y + 1 = {27^y}\). Có bao nhiêu cặp số \(\left( {x\,;\,y} \right)\)nguyên thỏa mãn điều kiện trên?
A. \(2021\). B. \(2020\). C. \(4\). D. \(3\).
Lời giải chi tiết
PHÁT TRIỂN TƯƠNG TỰ CÂU 47 ĐỀ TOÁN THAM KHẢO 2021 CỦA BỘ.
BIÊN SOẠN TỪ STRONG TEAM TOÁN VDC – BIÊN TẬP WEB BOOKTOAN.COM
1. ĐẠO HÀM g'(x)
2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x)
3. Lập BBT xét dấu g'(x)
4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán.
Ta có:
\(\begin{array}{l}{\log _3}\left( {x + 1} \right) + x – 3y + 1 = {27^y}\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 1} \right) + x + 1 = {27^y} + 3y\end{array}\)
\( \Leftrightarrow {3^{{{\log }_3}\left( {x + 1} \right)}} + {\log _3}\left( {x + 1} \right) = {3^{3y}} + 3y\,\,\,\left( * \right)\).
Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = {3^t} + t\).
Ta có \(f’\left( t \right) = {3^t}.\ln 3 + 1 > 0\,,\,\,\forall t \in \mathbb{R}\) nên hàm số \(f\left( t \right) = {3^t} + t\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Khi đó, từ phương trình \(\left( * \right)\) ta có:
\(f\left( {{{\log }_3}\left( {x + 1} \right)} \right) = f\left( {3y} \right) \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 1} \right) = 3y \Leftrightarrow x + 1 = {27^y} \Leftrightarrow x = {27^y} – 1\).
Mà \(0 \le x \le 2021\)\( \Leftrightarrow 0 \le {27^y} – 1 \le 2021 \Leftrightarrow 0 \le y \le {\log _{27}}2022 \approx 2,31\).
Vì \(y \in \mathbb{Z}\) nên \(y \in \left\{ {0\,;\,1\,;\,2} \right\}\) \( \Rightarrow x \in \left\{ {0\,;\,26\,;\,728} \right\}\).
Do đó có 3 cặp số nguyên \(\left( {x\,;\,y} \right) \in \left\{ {\left( {0\,;\,0} \right)\,;\,\left( {26\,;\,1} \right)\,;\,\left( {728\,;\,2} \right)} \right\}\) thỏa mãn phương trình đã cho.
Trả lời