Chinh Phục Xác Suất Có Điều Kiện – Toán 12: Bài Tập Mẫu Và Tự Luyện (Có Đáp Án)

1. Đề bài

Trong một nhà máy có hai máy sản xuất là Máy A và Máy B. Máy A đảm nhận sản xuất $40\%$ tổng số sản phẩm, còn Máy B sản xuất $60\%$ tổng số sản phẩm. Qua theo dõi, người ta thấy tỉ lệ phế phẩm của Máy A là $3\%$, và tỉ lệ phế phẩm của Máy B là $5\%$. Một nhân viên kiểm tra chất lượng chọn ngẫu nhiên một sản phẩm từ kho của nhà máy.

a) Tính xác suất để sản phẩm được chọn là phế phẩm.

b) Giả sử sản phẩm được chọn là phế phẩm, tính xác suất để sản phẩm đó do Máy A sản xuất.

2. Dạng toán

Bài toán tính xác suất có điều kiện, ứng dụng công thức xác suất toàn phần và định lý Bayes.

3. Phương pháp giải

• Bước 1: Gọi các biến cố cơ bản liên quan đến phép thử. Các biến cố này thường tạo thành một hệ đầy đủ.
• Bước 2: Biểu diễn các giả thiết của bài toán dưới dạng xác suất của các biến cố đã gọi.
• Bước 3: Sử dụng công thức xác suất toàn phần để tính xác suất của biến cố chung: $$P(D) = P(A) \cdot P(D|A) + P(B) \cdot P(D|B)$$
• Bước 4: Sử dụng công thức Bayes để tính xác suất có điều kiện ngược lại khi đã biết biến cố chung xảy ra: $$P(A|D) = \frac{P(A) \cdot P(D|A)}{P(D)}$$

4. Lời giải chi tiết

Câu a:

Gọi $A$ là biến cố “Sản phẩm được chọn do Máy A sản xuất”.

Gọi $B$ là biến cố “Sản phẩm được chọn do Máy B sản xuất”.

Hệ $\{A, B\}$ là một hệ đầy đủ các biến cố với $P(A) = 0.4$ và $P(B) = 0.6$.

Gọi $D$ là biến cố “Sản phẩm được chọn là phế phẩm”. Theo giả thiết, ta có xác suất có điều kiện:

$P(D|A) = 0.03$ (tỉ lệ phế phẩm của máy A).

$P(D|B) = 0.05$ (tỉ lệ phế phẩm của máy B).

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, xác suất chọn được phế phẩm là:

$$P(D) = P(A)P(D|A) + P(B)P(D|B) = 0.4 \times 0.03 + 0.6 \times 0.05 = 0.012 + 0.030 = 0.042$$

Câu b:

Biết rằng sản phẩm được chọn là phế phẩm (biến cố $D$ đã xảy ra), xác suất để nó do Máy A sản xuất chính là xác suất có điều kiện $P(A|D)$.

Áp dụng công thức Bayes, ta có:

$$P(A|D) = \frac{P(A \cap D)}{P(D)} = \frac{P(A)P(D|A)}{P(D)} = \frac{0.012}{0.042} = \frac{12}{42} = \frac{2}{7} \approx 28.57\%$$

Vậy xác suất để phế phẩm đó do Máy A sản xuất là $\frac{2}{7}$.

5. Bài tập tự luyện

Câu 1: Một bệnh viện có tỉ lệ người mắc bệnh M là $2\%$. Một xét nghiệm chẩn đoán bệnh M có độ chính xác là $90\%$ đối với người có bệnh (dương tính thật) và $95\%$ đối với người không mắc bệnh (âm tính thật). Một người làm xét nghiệm cho kết quả dương tính. Tính xác suất người này thực sự mắc bệnh M.

Câu 2: Có hai hộp bi. Hộp I chứa 4 bi đỏ và 6 bi trắng. Hộp II chứa 7 bi đỏ và 3 bi trắng. Chọn ngẫu nhiên một hộp, từ đó rút ra ngẫu nhiên 1 viên bi thì được bi đỏ. Tính xác suất viên bi đó được rút từ Hộp I.

Câu 3: Một sinh viên tham gia kỳ thi gồm 2 môn. Xác suất sinh viên qua môn 1 là $0.7$. Xác suất qua môn 2 là $0.6$. Xác suất qua cả hai môn là $0.5$. Biết rằng sinh viên đó đã qua môn 2, tính xác suất sinh viên đó qua môn 1.

Câu 4: Ba xạ thủ cùng bắn mỗi người 1 viên đạn vào bia. Xác suất bắn trúng bia của xạ thủ 1, 2, 3 lần lượt là $0.6$, $0.7$, $0.8$. Biết rằng bia bị trúng đúng 1 viên đạn. Tính xác suất để viên đạn đó là do xạ thủ 1 bắn trúng.

Câu 5: Trong 100 sản phẩm có 10 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên lần lượt không hoàn lại 2 sản phẩm. Biết rằng sản phẩm chọn lần 1 là sản phẩm tốt, tính xác suất để sản phẩm chọn lần 2 là phế phẩm.