Chị Mai muốn làm một cái cổng hình Parabol như hình vẽ

Chị Mai muốn làm một cái cổng hình Parabol như hình vẽ. Chiều cao $GH=4 \text{ m}$, chiều rộng $AB=4 \text{ m}$, $AC=BD=0{,}9 \text{ m}$. Chị Mai làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật $CDEF$ tô đậm có giá là $1\ 300\ 000$ đồng/m$^2$, còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là $900\ 000$ đồng/m$^2$. Hỏi tổng số tiền để làm hai phần nói trên là bao nhiêu (đơn vị tính là triệu đồng và làm tròn đến hàng phần chục)?

Đáp án: 12,1

Lời giải: Gắn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho $AB$ trùng $Ox$, $A$ trùng $O$ khi đó parabol có đỉnh $G(2;4)$ và đi qua gốc tọa độ.

Giả sử phương trình của parabol có dạng $y=ax^2+bx+c$ $(a\neq 0)$.
Vì parabol có đỉnh là $G(2;4)$ và đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$ nên
$\left\{\begin{array}{l} c=0 \\ -\dfrac{b}{2a}=2 \\ a\cdot 2^2+b\cdot 2 + c=4\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} a=-1 \\ b=4 \\ c=0.\end{array}\right.$
Suy ra phương trình parabol là $y=-x^2+4x$.
Diện tích của cả cổng là $S = \displaystyle\int\limits_0^4 \left(-x^2+4x\right)\mathrm{d}x = \left(-\dfrac{x^3}{3}+2x^2\right)\Bigg|_0^4 = \dfrac{32}{3} \left(\text{m}^2\right)$.
Ta có $CF=DE = y(0{,}9) = 2{,}79 (\text{m})$, $CD = 4-2\cdot 0{,}9 = 2{,}2 (\text{m})$.
Diện tích hai cánh cổng là $S_{CDEF} = CD\cdot CF = 6{,}138 \left(\text{m}^2\right)$.
Diện tích phần xiên hoa là $S_h=S-S_{CDEF} = \dfrac{32}{3}-6{,}138 = \dfrac{6793}{150} \left(\text{m}^2\right)$.
Vậy tổng số tiền để làm cổng là $6{,}138\cdot 1{,}3 + \dfrac{6793}{1500}\cdot 0{,}9 \approx 12{,}1$ (triệu đồng).