Câu hỏi:
CÂU HỎI:
Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn \(\begin{equation}
\int \frac{f(\sqrt{x+1})}{\sqrt{x+1}} \mathrm{~d} x=\frac{2(\sqrt{x+1}+3)}{x+5}+C .
\end{equation}\) Nguyên hàm của hàm số \(\begin{equation}
f(2 x) \text { trên tập } \mathbb{R}^{+}
\end{equation}\) là
Lời Giải:
Đây là các câu trắc nghiệm về NGUYÊN HÀM mức độ 2,3 – VẬN DỤNG
\(\begin{equation}
\begin{array}{l}
\text { Đặt } t=\sqrt{x+1} \Rightarrow \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x+1}}=2 \mathrm{~d} t \\
\text { Khi đó } \int \frac{f(\sqrt{x+1})}{\sqrt{x+1}} \mathrm{~d} x=\int 2 f(t) \mathrm{d} t \\
\text { Mà } \int \frac{f(\sqrt{x+1})}{\sqrt{x+1}} \mathrm{~d} x=\frac{2(\sqrt{x+1}+3)}{x+5}+C \text { nên } \int 2 f(t) \mathrm{d} t=\frac{2(t+3)}{t^{2}+4}+C
\end{array}
\end{equation}\)
Khi đó:
\(\begin{equation}
\begin{aligned}
& \int f(t) \mathrm{d} t=\frac{t+3}{t^{2}+4}+C \\
\Leftrightarrow & \int f(2 t) \mathrm{d} t=\frac{1}{2} \cdot \frac{2 t+3}{4 t^{2}+4}+C \\
\Leftrightarrow & \int f(2 x) \mathrm{d} x=\frac{2 x+3}{4\left(x^{2}+1\right)}+C .
\end{aligned}
\end{equation}\)
===============
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Nguyên hàm
Trả lời