Biết \({x_1},{x_2}\)(\({x_1} < {x_2}\)) là hai nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {\frac{{4{x^2} – 4x + 1}}{x}} \right) = 6x – 4{x^2}\) và \(2{x_1} – {x_2} = \frac{3}{4}\left( {a – \sqrt b } \right)\), \(\left( {a,b \in \mathbb{N}} \right)\). Tính giá trị của biểu thức \(P = a + b\)

DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
  ĐỀ BÀI:
Biết \({x_1},{x_2}\)(\({x_1} < {x_2}\)) là hai nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {\frac{{4{x^2} – 4x + 1}}{x}} \right) = 6x – 4{x^2}\) và \(2{x_1} – {x_2} = \frac{3}{4}\left( {a – \sqrt b } \right)\), \(\left( {a,b \in \mathbb{N}} \right)\). Tính giá trị của biểu thức \(P = a + b\)

A. \(P =  – 4\). 

B. \(P = 6\). 

C. \(P =  – 6\). 

D. \(P = 4\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

– Tự luận:

Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne \frac{1}{2}\end{array} \right.\).

Ta có \({\log _2}\left( {\frac{{4{x^2} – 4x + 1}}{x}} \right) = 6x – 4{x^2} \Leftrightarrow {\log _2}\left( {4{x^2} – 4x + 1} \right) – {\log _2}x = 6x – 4{x^2}\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {4{x^2} – 4x + 1} \right) + \left( {4{x^2} – 4x + 1} \right) = {\log _2}x + \left( {2x + 1} \right)\)\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {4{x^2} – 4x + 1} \right) + \left( {4{x^2} – 4x + 1} \right) = {\log _2}\left( {2x} \right) + 2x{\rm{  }}\left( * \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có \(f’\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0,\forall t > 0\) nên \(f\left( t \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

\(\left( * \right) \Leftrightarrow 4{x^2} – 4x + 1 = 2x \Leftrightarrow 4{x^2} – 6x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3 – \sqrt 5 }}{4}\\x = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{4}\end{array} \right.\).

Do \({x_1} < {x_2}\) nên \({x_1} = \frac{{3 – \sqrt 5 }}{4};{\rm{ }}{x_2} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{4}\). Khi đó \(2{x_1} – {x_2} = \frac{{3 – 3\sqrt 5 }}{4} = \frac{3}{4}\left( {1 – \sqrt 5 } \right)\).

Vậy \(a = 1;{\rm{ }}b = 5\)\( \Rightarrow P = a + b = 6\).

– Tư duy + C. asio:

Ta có: \({\log _2}\left( {\frac{{4{x^2} – 4x + 1}}{x}} \right) = 6x – 4{x^2}\), giải phương trình trên lưu lần lượt váo A, 

B. 

Ta lại có: \(2{x_1} – {x_2} = \frac{3}{4}\left( {a – \sqrt b } \right)\), \(\left( {a,b \in \mathbb{N}} \right)\)\( \Leftrightarrow 2B – A = \frac{3}{4}\left( {a – \sqrt b } \right),\left( {a,b \in \mathbb{N}} \right)\).

Như vậy ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2B – A = \frac{3}{4}\left( {a – \sqrt b } \right)\\P = a + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}M = \frac{3}{4}\left( {a – \sqrt b } \right)\\a = P – b\end{array} \right. \Leftrightarrow M = \frac{3}{4}\left( {P – b – \sqrt b } \right),M = 2B – A\).

– SHIFT SOLVE giá trị \(b\)được kết quả đẹp thì chọn khoanh.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG 1. ĐẠO HÀM g'(x) 2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x) 3. Lập BBT xét dấu g'(x) 4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán. ===========