Biết đồ thị hàm số $y = x^3 + ax^2 + bx + c$ đạt cực trị tại các điểm $x = 1$ và $x = 3$. Tổng $a + b$ bằng:

Ta có $y’ = 3x^2 + 2ax + b$. Theo định lý Vi-ét cho phương trình $y’ = 0$ có hai nghiệm $-1$ và $2$:

$-1 + 2 = -\dfrac{2a}{3} \Rightarrow 1 = -\dfrac{2a}{3} \Rightarrow a = -\dfrac{3}{2}$.

(-1) \cdot 2 = \dfrac{b}{3} \Rightarrow -2 = \dfrac{b}{3} \Rightarrow b = -6$.

Vậy $P = a – b = -\dfrac{3}{2} – (-6) = \dfrac{9}{2}$.

👉 Chọn đáp án: A

Ta có $y’ = x^2 – 2mx + m^2 – 4$. Để hàm số có 2 điểm cực trị thì $\Delta’ = m^2 – (m^2 – 4) = 4 > 0$ (luôn đúng).

Theo định lý Vi-ét: $x_1 + x_2 = 2m = 4 \Rightarrow m = 2$.

👉 Chọn đáp án: B

Ta có $y’ = 6x^2 + 2ax + b$.

Phương trình $y’ = 0$ có nghiệm $x = 0 \Rightarrow b = 0$.

Nghiệm $x = 2 \Rightarrow 6(2)^2 + 2a(2) + 0 = 0 \Rightarrow 24 + 4a = 0 \Rightarrow a = -6$.

Vậy tích $a \cdot b = -6 \cdot 0 = 0$.

👉 Chọn đáp án: A

Ta có $y’ = 3x^2 + 6x + m$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1 \Rightarrow y'(1) = 0 \Leftrightarrow 3(1)^2 + 6(1) + m = 0 \Leftrightarrow m = -9$.

Kiểm tra lại: $y” = 6x + 6 \Rightarrow y”(1) = 12 > 0$ (thỏa mãn cực tiểu).

Khi đó giá trị cực tiểu: $y_{\text{CT}} = y(1) = 1^3 + 3(1)^2 – 9(1) + 1 = -4$.

👉 Chọn đáp án: A

Ta có $y’ = 3x^2 – 6x + m$. Hàm số có 2 điểm cực trị khi $\Delta’ = 9 – 3m > 0 \Leftrightarrow m < 3$.

Theo định lý Vi-ét: $x_1 + x_2 = 2$ và $x_1 x_2 = \dfrac{m}{3}$.

Theo đề bài: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 – 2x_1 x_2 = 2^2 – 2\left(\dfrac{m}{3}\right) = 6 \Leftrightarrow 4 – \dfrac{2m}{3} = 6 \Leftrightarrow -\dfrac{2m}{3} = 2 \Leftrightarrow m = -3$ (thỏa mãn $m < 3$).

👉 Chọn đáp án: C