Cho hai số thực dương \(x,y\) thỏa mãn: \(3 + \ln \frac{{x + y + 1}}{{3xy}} = 9xy - 3x - 3y\). Khi biểu thức \(P = xy\) đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị biểu thức \(T = 2024x - 2023y\). A. \(T = 1\). B. \(T = - 1\). C. \(T = 2023\). D. \(T = - 2023\). Lời giải: Ta có: \(\begin{array}{l}3 + \ln \frac{{x + y + 1}}{{3xy}} = 9xy - 3x - 3y\\ \Leftrightarrow … [Đọc thêm...] vềCho hai số thực dương \(x,y\) thỏa mãn: \(3 + \ln \frac{{x + y + 1}}{{3xy}} = 9xy – 3x – 3y\). Khi biểu thức \(P = xy\) đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị biểu thức \(T = 2024x – 2023y\).

Xét các số thực dương \(x,y\) thoả mãn \({\log _2}\left( {x + 2y} \right) + {x^2} - 2{y^2} + xy - x + y = 0\) và \(x > y\). Khi biểu thức \(xy + 2\) đạt giá trị lớn nhất, giá trị của biểu thức \(2x + 4y\) bằng A. \(2\) B. \(6\) C. \(3\) D. \(5\) Lời giải: Chọn A Ta có: \({\log _2}\left( {x + 2y} \right) + {x^2} - 2{y^2} + xy - x + y = 0\) \( … [Đọc thêm...] vềXét các số thực dương \(x,y\) thoả mãn \({\log _2}\left( {x + 2y} \right) + {x^2} – 2{y^2} + xy – x + y = 0\) và \(x > y\). Khi biểu thức \(xy + 2\) đạt giá trị lớn nhất, giá trị của biểu thức \(2x + 4y\) bằng

Có bao nhiêu giá trị nguyên \(y \le 2024\) để ứng với mỗi \(y\) tồn tại hai số thực \(x\) thỏa mãn bất phương trình \({e^{{x^2}}} + \left( {y + \ln x} \right).{e^{y + \ln x}} \le \left( {{x^3} + x} \right){e^y}\)? A. \(2023\). B. \(2024\). C. \(2025\). D. \(2026\) Lời giải: Chọn B  Xét hàm số \(g\left( t \right) = {e^t} - t \Rightarrow g'\left( t \right) = … [Đọc thêm...] vềCó bao nhiêu giá trị nguyên \(y \le 2024\) để ứng với mỗi \(y\) tồn tại hai số thực \(x\) thỏa mãn bất phương trình \({e^{{x^2}}} + \left( {y + \ln x} \right).{e^{y + \ln x}} \le \left( {{x^3} + x} \right){e^y}\)?

Cho các số thực \(x \ne 0,y > 0\) thỏa mãn \({\log _2}\frac{y}{{2{x^2}}} + {y^2} = {x^4} - 1\). Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị của tham số \(m\) để với mỗi \(m\) có đúng \(3\) cặp số \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(\frac{m}{2}\left( {{2^{y - 2x}} + {2^{ - y + 4x}}} \right) = {\frac{m}{4}^2} + {2^{2x}}\). Tổng các phần tử trong \(S\) bằng A. \(49\). B. … [Đọc thêm...] vềCho các số thực \(x \ne 0,y > 0\) thỏa mãn \({\log _2}\frac{y}{{2{x^2}}} + {y^2} = {x^4} – 1\). Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị của tham số \(m\) để với mỗi \(m\) có đúng \(3\) cặp số \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(\frac{m}{2}\left( {{2^{y – 2x}} + {2^{ – y + 4x}}} \right) = {\frac{m}{4}^2} + {2^{2x}}\). Tổng các phần tử trong \(S\) bằng

Cho \(x,y\) nguyên và \(0 \le x \le 2024\) thỏa mãn \({\log _2}\left( {\frac{{2x + 6}}{{x - 1}}} \right) + \frac{8}{{x - 1}} = y - 2 + {2^y}\). Khi đó \(x + 2y\) bằng: A. \(2024\). B. \(2\). C. \(12\). D. \(9\). Lời giải: Điều kiện của \(x\): \(x \in \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {1;\; + \infty } \right)\). Nên ta chỉ kiểm tra \(2 \le x \le … [Đọc thêm...] vềCho \(x,y\) nguyên và \(0 \le x \le 2024\) thỏa mãn \({\log _2}\left( {\frac{{2x + 6}}{{x – 1}}} \right) + \frac{8}{{x – 1}} = y – 2 + {2^y}\). Khi đó \(x + 2y\) bằng:

Xét các số thực dương \(x\), \(y\) thỏa mãn \({\log _5}{\left[ {\left( {x + 3} \right)y} \right]^y} = 125 - xy\). Khi biểu thức \(x + 5y\) đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của biểu thức \(5x - y\) bằng A. \(115\). B. \(110\). C. \(105\). D. \(120\). Lời giải: Ta có: \({\log _5}{\left[ {\left( {x + 3} \right).y} \right]^y} = 125 - xy\) \( \Leftrightarrow … [Đọc thêm...] vềXét các số thực dương \(x\), \(y\) thỏa mãn \({\log _5}{\left[ {\left( {x + 3} \right)y} \right]^y} = 125 – xy\). Khi biểu thức \(x + 5y\) đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của biểu thức \(5x – y\) bằng

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn \({\log _3}\frac{{2x + y + 1}}{{x + y}} = x + 2y.\)Khi biểu thức \(T = \frac{1}{x} + \frac{2}{{\sqrt y }}\) đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của biểu thức \(S = x - 2y\) bằng A. \(3 + \sqrt 3 .\) B. \(2\) C. \(3 + 2\sqrt 3 .\) D. \(0\) Lời giải: Ta có: \({\log _3}\frac{{2x + y + 1}}{{x + y}} = x + 2y \Leftrightarrow {\log … [Đọc thêm...] vềCho x, y là các số thực dương thỏa mãn \({\log _3}\frac{{2x + y + 1}}{{x + y}} = x + 2y.\)Khi biểu thức \(T = \frac{1}{x} + \frac{2}{{\sqrt y }}\) đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của biểu thức \(S = x – 2y\) bằng

Xét các số thực \(x\), \(y\) thỏa mãn \({3^{{x^2} + {y^2} + 1}} \le \left( {2{x^2} + 2{y^2} - 4x + 3} \right){.9^x}\). Biết giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{{3x - 4y}}{{2x + y + 1}}\) bằng \(a\sqrt {113} + b\) với \(a,b \in \mathbb{Q}\). Khi đó \(3a - b\) bằng A. \(3\). B. \(2\). C. \(0\). D. \( - 1\). Lời giải: Ta có \({3^{{x^2} + {y^2} + 1}} \le … [Đọc thêm...] vềXét các số thực \(x\), \(y\) thỏa mãn \({3^{{x^2} + {y^2} + 1}} \le \left( {2{x^2} + 2{y^2} – 4x + 3} \right){.9^x}\). Biết giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{{3x – 4y}}{{2x + y + 1}}\) bằng \(a\sqrt {113} + b\) với \(a,b \in \mathbb{Q}\). Khi đó \(3a – b\) bằng

Gọi \(x,y\) là các số thực dương thỏa mãn \({\log _{\sqrt 3 }}\frac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} = x(x - 3) + y(y - 3) + xy\) sao cho biểu thức \(P = \frac{{4x + 5y - 3}}{{x + 2y + 1}}\) đạt giá trị lớn nhất. Khi đó \(2023x + 2024y\) bằng A. \(6070\). B. \(4047\). C. \(6071\). D. \(8085\). Lời giải: Ta có: \({\log _{\sqrt 3 }}\frac{{x + y}}{{{x^2} + … [Đọc thêm...] vềGọi \(x,y\) là các số thực dương thỏa mãn \({\log _{\sqrt 3 }}\frac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} = x(x – 3) + y(y – 3) + xy\) sao cho biểu thức \(P = \frac{{4x + 5y – 3}}{{x + 2y + 1}}\) đạt giá trị lớn nhất. Khi đó \(2023x + 2024y\) bằng

Có bao nhiêu số nguyên \(m \in \left( { - 5;5} \right)\) để bất phương trình sau \({\log _3}\frac{{2{x^2} - x + 1}}{{4{x^2} - x + 4 - 2m}} < - 2\left( {{x^2} - x + m} \right)\) có nghiệm? A. \(4\). B. \(3\). C. \(2\). D. \(5\). Lời giải: Chọn D Với điều kiện \(4{x^2} - x + 4 - 2m > 0\) (Do \(2{x^2} - x + 1 > 0,\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)), ta … [Đọc thêm...] vềCó bao nhiêu số nguyên \(m \in \left( { – 5;5} \right)\) để bất phương trình sau \({\log _3}\frac{{2{x^2} – x + 1}}{{4{x^2} – x + 4 – 2m}} < – 2\left( {{x^2} – x + m} \right)\) có nghiệm?