Xét các số thực dương \(x,y\) thoả mãn \({\log _3}{\left[ {\left( {x + 5} \right)y} \right]^y} = 243 - xy\). Khi biểu thức \(x + 3y\) đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của biểu thức \(2x + y\) bằng A. \(50\) B. \(55\) C. \(59\) D. \(53\) Lời giải: Ta có: \({\log _3}{\left[ {\left( {x + 5} \right)y} \right]^y} = 243 - xy\) \( \Leftrightarrow y.{\log _3}\left[ … [Đọc thêm...] vềXét các số thực dương \(x,y\) thoả mãn \({\log _3}{\left[ {\left( {x + 5} \right)y} \right]^y} = 243 – xy\). Khi biểu thức \(x + 3y\) đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của biểu thức \(2x + y\) bằng

Cho \(x\) và \(y\) là các số thực dương thỏa mãn \(\log \frac{{x + 1}}{{3y + 1}} \ge 9{y^4} + 6{y^3} - {x^2}{y^2} - 2x{y^2}\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} - 2x - 4y\) thuộc khoảng nào sau đây A. \(\left( {1;2} \right)\). B. \(\left( {2;3} \right)\). C. \(\left( { - 3; - 2} \right)\). D. \(\left( { - 1;1} \right)\). Lời giải: Với \(x\) và … [Đọc thêm...] vềCho \(x\) và \(y\) là các số thực dương thỏa mãn \(\log \frac{{x + 1}}{{3y + 1}} \ge 9{y^4} + 6{y^3} – {x^2}{y^2} – 2x{y^2}\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} – 2x – 4y\) thuộc khoảng nào sau đây

Xét các số thực dương \(x,{\rm{ }}y\) thỏa mãn \({\log _{\sqrt 3 }}\frac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} = x\left( {x - 3} \right) + y\left( {y - 3} \right) + xy\). Tìm giá trị lớn nhất của \(P = \frac{{3x + 2y + 1}}{{x + y + 6}}\). A. \(3\) B. \(4\) C. \(2\) D. \(1\) Lời giải: Chọn D Ta có \({\log _{\sqrt 3 }}\frac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} … [Đọc thêm...] vềXét các số thực dương \(x,{\rm{ }}y\) thỏa mãn \({\log _{\sqrt 3 }}\frac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} = x\left( {x – 3} \right) + y\left( {y – 3} \right) + xy\).

Cho \(a,\)\(b,\)\(c\) là các số thực lớn hơn \(1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = \frac{4}{{{{\log }_{\sqrt {bc} }}a}} + \frac{1}{{{{\log }_{ac}}\sqrt b }} + \frac{8}{{3{{\log }_{ab}}\sqrt[3]{c}}}\) A. \({P_{\min }} = 18\). B. \({P_{\min }} = 10\). C. \({P_{\min }} = 20\). D. \({P_{\min }} = 12\). Lời giải: Ta có: \(P = \frac{4}{{2{{\log … [Đọc thêm...] vềCho \(a,\)\(b,\)\(c\) là các số thực lớn hơn \(1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Xét các số thực dương \(x\), \(y\) thỏa mãn \(y{\log _2}\left( {8x + 2y + 32} \right) - 4x = {x^2} + \left( {{x^2} + 4x + y} \right){\log _2}\left( {x + 4} \right)\)Khi biểu thức \(y - 2{x^3}\) đạt giá trị lớn nhất, giá trị của biểu thức \(x - 2{y^3}\) bằng A. \(3\). B. \( - 3\). C. \( - 249\). D. \(249\). Lời giải: Ta có: \(y{\log _2}\left( {8x + 2y + 32} … [Đọc thêm...] vềXét các số thực dương \(x\), \(y\) thỏa mãn \(y{\log _2}\left( {8x + 2y + 32} \right) – 4x = {x^2} + \left( {{x^2} + 4x + y} \right){\log _2}\left( {x + 4} \right)\)Khi biểu thức \(y – 2{x^3}\) đạt giá trị lớn nhất, giá trị của biểu thức \(x – 2{y^3}\) bằng

Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x,y} \right)\) thỏa mãn \(2 \le x \le 2024\) và \({2^y} - {\log _2}\left( {x + {2^{y - 1}}} \right) = 2x - y\) A. \(9\) B. \(10\) C. \(2023\) D. \(2024\) Lời giải: Ta có \({2^y} - {\log _2}\left( {x + {2^{y - 1}}} \right) = 2x - y \Leftrightarrow {2^{y + 1}} - {\log _2}\left( {\frac{{2x + {2^y}}}{2}} \right) = 2x + {2^y} - … [Đọc thêm...] vềCó bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x,y} \right)\) thỏa mãn \(2 \le x \le 2024\) và \({2^y} – {\log _2}\left( {x + {2^{y – 1}}} \right) = 2x – y\)

Cho hai số dương \(x,\,y\) thoả mãn \({\log _2}{\left( {4x + y + 2xy + 2} \right)^{y + 2}} = 8 - \left( {2x - 2} \right)\left( {y + 2} \right)\). Giá trị nhỏ nhất của \(P = 2x + y\) là số có dạng \(M = a\sqrt b + c\) với \(a,\,b \in \mathbb{N},\,a > 2\). Tính \(S = a + b + c\) A. \(S = 17\). B. \(S = 7\). C. \(S = 19\). D. \(S = 3\). Lời giải: Ta có \({\log … [Đọc thêm...] vềCho hai số dương \(x,\,y\) thoả mãn \({\log _2}{\left( {4x + y + 2xy + 2} \right)^{y + 2}} = 8 – \left( {2x – 2} \right)\left( {y + 2} \right)\). Giá trị nhỏ nhất của \(P = 2x + y\) là số có dạng \(M = a\sqrt b + c\) với \(a,\,b \in \mathbb{N},\,a > 2\). Tính \(S = a + b + c\)

Cho \(0 \le x \le 2020\) và \({\log _3}(9x + 18) + x - 2y = {9^y}\).Có bao nhiêu cặp số \((x\,;y)\) nguyên thỏa mãn các điều kiện trên? A. \(2019\). B. \(2018\). C. \(1\). D. \(3\). Lời giải: Do \(0 \le x \le 2020\) nên \({\log _3}(9x + 18)\) luôn có nghĩa. Ta có \({\log _3}(9x + 18) + x - 2y = {9^y}\)\( \Leftrightarrow {\log _3}(x + 2) + x + 2 = 2y + … [Đọc thêm...] vềCho \(0 \le x \le 2020\) và \({\log _3}(9x + 18) + x – 2y = {9^y}\).Có bao nhiêu cặp số \((x\,;y)\) nguyên thỏa mãn các điều kiện trên?

Cho các số thực không âm \(x\) và \(y\) thỏa mãn \(2x + y{.4^{x + y - 1}} \ge 3\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} + 2x + 4y\) bằng A. \(\frac{{21}}{4}\). B. \(\frac{9}{8}\). C. \(\frac{{33}}{4}\). D. \(\frac{{41}}{8}\). Lời giải: Ta có \(2x + y{.4^{x + y - 1}} \ge 3 \Leftrightarrow \left( {2x - 3} \right){.4^{ - x}} + y{.4^{y - 1}} \ge 0 … [Đọc thêm...] vềCho các số thực không âm \(x\) và \(y\) thỏa mãn \(2x + y{.4^{x + y – 1}} \ge 3\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} + 2x + 4y\) bằng

Cho \(x\) và \(y\) là các số thực không âm thỏa mãn \(384.\,\,{128^{{x^2} - 2x}} - {6.8^y} + 6 = 3y - 7{x^2} + 14x\). Khi biểu thức \( - 3y + 4{x^2} - 2x + 8\) đạt giá trị lớn nhất, giá trị của biểu thức \(P = 3x - 2y\) bằng A. \(10\). B. \( - 22\). C. \(14\). D. \(2\) Lời giải: Ta có: \(384.\,\,{128^{{x^2} - 2x}} - {6.8^y} + 6 = 3y - 7{x^2} + 14x … [Đọc thêm...] vềCho \(x\) và \(y\) là các số thực không âm thỏa mãn \(384.\,\,{128^{{x^2} – 2x}} – {6.8^y} + 6 = 3y – 7{x^2} + 14x\). Khi biểu thức \( – 3y + 4{x^2} – 2x + 8\) đạt giá trị lớn nhất, giá trị của biểu thức \(P = 3x – 2y\) bằng