Cho các số thực không âm \(x\) và \(y\) thỏa mãn \(2x + y{.4^{x + y – 1}} \ge 3\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} + 2x + 4y\) bằng

Cho các số thực không âm \(x\) và \(y\) thỏa mãn \(2x + y{.4^{x + y – 1}} \ge 3\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} + 2x + 4y\) bằng

A. \(\frac{{21}}{4}\).

B. \(\frac{9}{8}\).

C. \(\frac{{33}}{4}\).

D. \(\frac{{41}}{8}\).

Lời giải:

Ta có \(2x + y{.4^{x + y – 1}} \ge 3 \Leftrightarrow \left( {2x – 3} \right){.4^{ – x}} + y{.4^{y – 1}} \ge 0 \Leftrightarrow 2y{.2^{2y}} \ge \left( {3 – 2x} \right){2^{3 – 2x}}\) \(\left( 1 \right)\).

Xét trường hợp 1: \(3 – 2x \le 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{3}{2}\).

\(\left( 1 \right)\) đúng với mọi giá trị \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{3}{2}\\y \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow P = {x^2} + {y^2} + 4x + 2y \ge \frac{{33}}{4}\) \(\left( 2 \right)\).

Xét trường hợp 2: \(3 – 2x > 0 \Leftrightarrow 0 \le x < \frac{3}{2}\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = t{.2^t}\) với \(t \ge 0\)

\( \Rightarrow f’\left( t \right) = {2^t} + t{.2^t}.\ln 2 > 0\) với mọi \(t \ge 0\).

\(\left( 1 \right)\)\( \Leftrightarrow f\left( {2y} \right) \ge f\left( {3 – 2x} \right)\)\( \Leftrightarrow 2y \ge 3 – 2x \Leftrightarrow y \ge \frac{3}{2} – x\)

\( \Rightarrow P = {x^2} + {y^2} + 4x + 2y \ge {x^2} + {\left( {\frac{3}{2} – x} \right)^2} + 4x + \left( {3 – 2x} \right) = 2{x^2} – x + \frac{{21}}{4}\)

\( \Rightarrow P = 2{\left( {x – \frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{{41}}{8} \ge \frac{{41}}{8}\) \(\left( 3 \right)\).

So sánh \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) ta có GTNN của \(P\) là \(\frac{{41}}{8}\) khi \(x = \frac{1}{4}\,,\,\,y = \frac{5}{4}\).

===========

Tương tự Câu 46 TÌM MAX MIN BIỂU THỨC LOGARIT 2 BIẾN – VẬN DỤNG CAO – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024