Cho các số thực \(x,\,y\) thoả mãn \(\log \sqrt {{x^2} + 2024{y^2} + 2024} = \frac{{{x^4}}}{{4048\left( {{y^2} + 1} \right)}}\log \left( {{x^2} + 1} \right) + \log x\). Khi biểu thức \({x^4} + 2024y\) đạt giá tri nhỏ nhất, giá trị của biểu thức \(5x - 3y\) thuộc khoảng nào sau đây? A. \(\left( {30;\,32} \right)\). B. \(\left( {34;\,36} \right)\). C. \(\left( {32;\,34} … [Đọc thêm...] vềCho các số thực \(x,\,y\) thoả mãn \(\log \sqrt {{x^2} + 2024{y^2} + 2024} = \frac{{{x^4}}}{{4048\left( {{y^2} + 1} \right)}}\log \left( {{x^2} + 1} \right) + \log x\). Khi biểu thức \({x^4} + 2024y\) đạt giá tri nhỏ nhất, giá trị của biểu thức \(5x – 3y\) thuộc khoảng nào sau đây?

Xét các số thực dương \(x\), \(y\) thỏa mãn: \({\log _3}{\left[ {\left( {{x^2} + 6x + 3} \right)(y + 2)} \right]^{(y + 2)}} = 27 - ({x^2} + 6x)(y + 2)\). Khi biểu thức \(P = ({x^2} + 10x + 3)y - 4xy + 16x\) đạt giá trị lớn nhất, giá trị của biểu thức \(x + 10y\) bằng A. \(3\). B. \(7\). C. \(8\). D. \(9\). Lời giải: Ta có: \({\log _3}{\left[ {\left( {{x^2} … [Đọc thêm...] vềXét các số thực dương \(x\), \(y\) thỏa mãn: \({\log _3}{\left[ {\left( {{x^2} + 6x + 3} \right)(y + 2)} \right]^{(y + 2)}} = 27 – ({x^2} + 6x)(y + 2)\).

Cho \(x\) và \(y\) là các số thực dương thỏa mãn \({3^{{x^4} + 1}} = 2\left( {3y - x} \right) + {3.3^{81{y^4}}}\). Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để biểu thức \(P = {x^2} + 3\left( {{m^2} - 2025} \right)y + 2023\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tổng các phần tử của tập \(S\) bằng A. \(45\). B. \(0\). C. \(1035\). D. \(990\). Lời … [Đọc thêm...] vềCho \(x\) và \(y\) là các số thực dương thỏa mãn \({3^{{x^4} + 1}} = 2\left( {3y – x} \right) + {3.3^{81{y^4}}}\). Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để biểu thức \(P = {x^2} + 3\left( {{m^2} – 2025} \right)y + 2023\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tổng các phần tử của tập \(S\) bằng

Xét các số thực dương \(x,y\) thỏa \({2024^{2\left( {{x^2} - y + 2} \right)}} - \frac{{4x + y + 2}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} \ge 0.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = y - 2x.\) A. \(2024\). B. \(2025\). C. \(\frac{1}{2}\). D. \(1\). Lời giải: Từ giả thiết, ta suy ra \({2024^{2\left( {{x^2} - y + 2} \right)}} \ge \frac{{4x + y + 2}}{{{{\left( {x … [Đọc thêm...] vềXét các số thực dương \(x,y\) thỏa \({2024^{2\left( {{x^2} – y + 2} \right)}} – \frac{{4x + y + 2}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} \ge 0.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = y – 2x.\)

Cho \(x\) và \(y\) là các số thực dương thỏa mãn \({\log _2}x + xy - 4 = {\log _2}\frac{{x + 4}}{{y + 1}}\). Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 2024;2024} \right]\) để bất phương trình \(4x + \left( {5 - m} \right)y - 12 - 4m \ge 0\) nghiệm đúng với mọi số thực dương \(x\) và \(y\). Số phần tử của tập \(S\) là A. \(2024\). B. … [Đọc thêm...] vềCho \(x\) và \(y\) là các số thực dương thỏa mãn \({\log _2}x + xy – 4 = {\log _2}\frac{{x + 4}}{{y + 1}}\). Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { – 2024;2024} \right]\) để bất phương trình \(4x + \left( {5 – m} \right)y – 12 – 4m \ge 0\) nghiệm đúng với mọi số thực dương \(x\) và \(y\). Số phần tử của tập \(S\) là

Cho hai số thực \(x,\) \(y\) thỏa mãn \(0 \le x,y \le 1\) trong đó \(x,\) \(y\) không đồng thời bằng 0 hoặc 1 và \({\log _3}\left( {\frac{{x + y}}{{1 - xy}}} \right) + \left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) - 2 = 0.\) Khi biểu thức \(P = 2x + y\) đạt giá trị lớn nhất, giá trị của biểu thức \(3x - 4y\) bằng A. 2. B. 3. C. \(\frac{1}{2}\). D. 0. Lời … [Đọc thêm...] vềCho hai số thực \(x,\) \(y\) thỏa mãn \(0 \le x,y \le 1\) trong đó \(x,\) \(y\) không đồng thời bằng 0 hoặc 1 và \({\log _3}\left( {\frac{{x + y}}{{1 – xy}}} \right) + \left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) – 2 = 0.\) Khi biểu thức \(P = 2x + y\) đạt giá trị lớn nhất, giá trị của biểu thức \(3x – 4y\) bằng

Gọi \(x,\,y\) là các số lớn hơn 1 thỏa mãn đẳng thức \(1 + \,{\log _{10y}}x = \,{\log _y}x\) và \(A = \frac{x}{{{y^{11}}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(x.y = {10^k}\). Khi đó \(k\) thuộc khoảng nào trong các khoảng sau? A. \(\left( {10;\,20} \right)\). B. \(\left( {20;\,25} \right)\). C. \(\left( {25;\,35} \right)\). D. \(\left( {30;\,40} \right)\). Lời … [Đọc thêm...] vềGọi \(x,\,y\) là các số lớn hơn 1 thỏa mãn đẳng thức \(1 + \,{\log _{10y}}x = \,{\log _y}x\) và \(A = \frac{x}{{{y^{11}}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(x.y = {10^k}\). Khi đó \(k\) thuộc khoảng nào trong các khoảng sau?

Cho hai số thực dương \(x;y\) thỏa mãn \(3xy + 4x + {\log _3}{\left( {xy + 2x} \right)^x} = 27\). Khi \(P = \frac{2}{9}y + {x^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng \(x + {y^2}\) có giá trị bằng A. \(8\). B. \(\frac{{23}}{9}\). C. \(50\). D. \(\frac{{433}}{9}\). Lời giải: Ta có: \(3xy + 4x + {\log _3}{\left( {xy + 2x} \right)^x} = 27 \Leftrightarrow 3xy + 4x + … [Đọc thêm...] vềCho hai số thực dương \(x;y\) thỏa mãn \(3xy + 4x + {\log _3}{\left( {xy + 2x} \right)^x} = 27\). Khi \(P = \frac{2}{9}y + {x^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng \(x + {y^2}\) có giá trị bằng

Cho hai số thực dương \(x,y\) thỏa mãn: \({\log _2}\frac{{4(x + y)}}{{{x^2} + {y^2} + 1}} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2}\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{x}{{y + 1}}\). A. \(2\). B. \(\frac{1}{2}\). C. \(\frac{4}{3}\). D. \(\frac{3}{4}\). Lời giải: Phương trình đã cho\( \Leftrightarrow \)\(1 + {\log _2}\frac{{2x + … [Đọc thêm...] vềCho hai số thực dương \(x,y\) thỏa mãn: \({\log _2}\frac{{4(x + y)}}{{{x^2} + {y^2} + 1}} = {\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2}\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{x}{{y + 1}}\).

Xét các số thực không âm \(x\), \(y\) thỏa mãn \({\log _5}{\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {y + 1} \right)} \right]^{y + 1}} = 125 - \left( {x - 1} \right)\left( {y + 1} \right)\). Khi biểu thức \(x + 5y\) đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của biểu thức \(5x + y\) bằng A. \(117\). B. \(118\). C. \(119\). D. \(120\). Lời giải: Ta có: \({\log _5}{\left[ {\left( … [Đọc thêm...] vềXét các số thực không âm \(x\), \(y\) thỏa mãn \({\log _5}{\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {y + 1} \right)} \right]^{y + 1}} = 125 – \left( {x – 1} \right)\left( {y + 1} \right)\). Khi biểu thức \(x + 5y\) đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của biểu thức \(5x + y\) bằng