Xét một bảng ô vuông gồm $4\times 4$ ô vuông. Người ta điền vào mỗi ô vuông đó một trong hai số $1$ hoặc $-1$ sao cho tổng các số trong mỗi hàng và tổng các số trong mỗi cột đều bằng $0$. Hỏi có bao nhiêu cách?90 Nhận xét 1: Trên mỗi hàng có $2$ số $1$ và $2$ số $-1$, mỗi cột có $2$ số $1$ và $2$ số $-1$ Nhận xét 2: Để tổng các số trong mỗi hàng và trong mỗi cột bằng $0$ đồng thời có không quá hai số bằng nhau và ba hàng đầu tiên đã được xếp số thì ta chỉ có một cách xếp hàng thứ tư.Do vậy ta tìm số cách xếp ba hàng đầu tiên. Phương pháp giải bài này là xếp theo hàng. Các hàng được đánh số như sau:

ĐỀ BÀI

Xét một bảng ô vuông gồm $4\times 4$ ô vuông. Người ta điền vào mỗi ô vuông đó một trong hai số $1$ hoặc $-1$ sao cho tổng các số trong mỗi hàng và tổng các số trong mỗi cột đều bằng $0$. Hỏi có bao nhiêu cách?90 Nhận xét 1: Trên mỗi hàng có $2$ số $1$ và $2$ số $-1$, mỗi cột có $2$ số $1$ và $2$ số $-1$ Nhận xét 2: Để tổng các số trong mỗi hàng và trong mỗi cột bằng $0$ đồng thời có không quá hai số bằng nhau và ba hàng đầu tiên đã được xếp số thì ta chỉ có một cách xếp hàng thứ tư.Do vậy ta tìm số cách xếp ba hàng đầu tiên. Phương pháp giải bài này là xếp theo hàng. Các hàng được đánh số như sau:

LỜI GIẢI

ĐÁP ÁN 90

Nếu xếp tự do thì mỗi hàng đều có $\dfrac{4!}{2!.2!}=6$ cách điền số mà tổng các số bằng 0, đó là các cách xếp như sau: $11-1-1$ $\left( 1 \right)$, $1-1-11$ $\left( 2 \right)$, $-1-111$ $\left( 3 \right)$, $-11-11$ $\left( 4 \right)$, $1-11-1$ $\left( 5 \right)$, $-111-1$ $\left( 6 \right)$ Giả sử hàng $1$ được xếp như bộ $\left( 1 \right)$. Số cách xếp hàng $2$ có các khả năng sauKhả năng 1: Hàng $2$ xếp giống hàng 1 có $1$ cách xếp.Hàng $3$ có $1$ cách. Hàng $4$ có $1$ cách. Vậy có $1.1.1.1=1$ cách xếp.Khả năng 2: Hàng $2$ xếp đối xứng với hàng 1 có $1$ cách xếpHàng $3$ có $6$ cách. Hàng $4$ có $1$ cách. Vậy có $1.1.6.1=6$ cách xếp.Khả năng 3: Hàng $2$ xếp trùng với cách xếp hàng $1$ ở $2$ vị trí có $4$ cách xếp ( $4$ bộ còn lại)Khi đó, với mỗi cách xếp hàng thứ $2$, hàng $3$ có $2$ cách. Hàng $4$ có $1$ cách. Vậy có $1.1.6.1=6$ cách xếp.Vì vai trò các bộ số như nhau nên số cách xếp thỏa mãn là $6.\left( 1+6+6 \right)=90$ cách.