📌 Đề bài (Trắc nghiệm 4 lựa chọn):
Tìm tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x + 3} – 2}{x^2 – 1}$.
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = f(x)$, ta thực hiện theo các bước sau:
- Tìm tập xác định của hàm số để xác định các giới hạn cần tính ($x \to \pm\infty$, $x \to x_0^\pm$).
- Đường tiệm cận ngang: Đường thẳng $y = y_0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nếu thỏa mãn ít nhất một trong các điều kiện: $\lim_{x \to +\infty} f(x) = y_0$ hoặc $\lim_{x \to -\infty} f(x) = y_0$.
- Đường tiệm cận đứng: Đường thẳng $x = x_0$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nếu thỏa mãn ít nhất một trong các điều kiện: $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \pm\infty$ hoặc $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \pm\infty$. Đối với hàm phân thức chứa căn thức, cần khử dạng vô định $\frac{0}{0}$ bằng phương pháp nhân liên hợp.
Chuyên đề này nằm trong kế hoạch khảo sát hàm số Toán 12 và hệ thống đề ôn tập giữa học kỳ 1 môn Toán 12 chuẩn chương trình GDPT mới.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số
Điều kiện xác định:
$$\begin{cases} x + 3 \ge 0 \\ x^2 – 1 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ge -3 \\ x \neq 1 \\ x \neq -1 \end{cases}$$
Vậy tập xác định là $D = [-3; +\infty) \setminus \{-1; 1\}$.
Bước 2: Tìm tiệm cận ngang
Vì hàm số chỉ xác định trên $[-3; +\infty) \setminus \{-1; 1\}$ nên ta chỉ xét giới hạn khi $x \to +\infty$:
$$\lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x + 3} – 2}{x^2 – 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{\frac{1}{x^3} + \frac{3}{x^4}} – \frac{2}{x^2}}{1 – \frac{1}{x^2}} = 0$$
Suy ra đường thẳng $y = 0$ là đường tiệm cận ngang duy nhất của đồ thị hàm số.
Bước 3: Tìm tiệm cận đứng
Ta xét giới hạn của hàm số tại các điểm làm cho mẫu số bằng $0$ là $x = 1$ và $x = -1$:
• Tại $x = 1$:
$$\lim_{x \to 1} y = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x + 3} – 2}{(x – 1)(x + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{(x + 3) – 4}{(x – 1)(x + 1)(\sqrt{x + 3} + 2)}$$
$$= \lim_{x \to 1} \frac{x – 1}{(x – 1)(x + 1)(\sqrt{x + 3} + 2)} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{(x + 1)(\sqrt{x + 3} + 2)} = \frac{1}{(1 + 1)(\sqrt{4} + 2)} = \frac{1}{8} \neq \pm\infty$$
Do đó, đường thẳng $x = 1$ không phải là đường tiệm cận đứng.
• Tại $x = -1$:
$$\lim_{x \to -1^+} y = \lim_{x \to -1^+} \frac{\sqrt{x + 3} – 2}{(x – 1)(x + 1)}$$
Khi $x \to -1^+$, ta có $\lim_{x \to -1^+} (\sqrt{x + 3} – 2) = \sqrt{2} – 2 < 0$, $\lim_{x \to -1^+} (x - 1) = -2 < 0$, và $\lim_{x \to -1^+} (x + 1) = 0$ (với $x + 1 > 0$).
Do đó: $\lim_{x \to -1^+} y = +\infty$.
Suy ra đường thẳng $x = -1$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Kết luận: Đồ thị hàm số đã cho có $1$ tiệm cận ngang ($y = 0$) và $1$ tiệm cận đứng ($x = -1$). Tổng số đường tiệm cận là $1 + 1 = 2$.
👉 Chọn đáp án: B
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm 4 đáp án A, B, C, D)
Rèn luyện thêm các câu hỏi phân loại trong bộ câu hỏi vận dụng – vận dụng cao ôn thi THPTQG môn Toán 12 dưới đây:
Bài tập 1: Tìm tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2x – 1}{x + 2}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
• Tiệm cận đứng: $\lim_{x \to (-2)^+} y = -\infty \Rightarrow x = -2$ là đường tiệm cận đứng.
• Tiệm cận ngang: $\lim_{x \to \pm\infty} y = 2 \Rightarrow y = 2$ là đường tiệm cận ngang.
Vậy đồ thị có tổng cộng $1 + 1 = 2$ đường tiệm cận.
👉 Chọn đáp án: B
Bài tập 2: Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 – 3x + 2}{x^2 – 4}$ là:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Ta biến đổi hàm số: $y = \frac{(x – 1)(x – 2)}{(x – 2)(x + 2)} = \frac{x – 1}{x + 2}$ (với $x \neq 2$).
• Tại $x = 2$: $\lim_{x \to 2} y = \lim_{x \to 2} \frac{x – 1}{x + 2} = \frac{1}{4} \neq \pm\infty \Rightarrow x = 2$ không là tiệm cận đứng.
• Tại $x = -2$: $\lim_{x \to (-2)^+} y = -\infty \Rightarrow x = -2$ là tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị có đúng $1$ đường tiệm cận đứng.
👉 Chọn đáp án: B
Bài tập 3: Tìm tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x – 1}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
• Tiệm cận ngang:
$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x – 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}}{x(1 – \frac{1}{x})} = 1 \Rightarrow y = 1$ là 1 TCN.
$\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x – 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}}{x(1 – \frac{1}{x})} = -1 \Rightarrow y = -1$ là 1 TCN.
• Tiệm cận đứng:
$\lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x – 1} = +\infty \Rightarrow x = 1$ là 1 TCĐ.
Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $2 + 1 = 3$.
👉 Chọn đáp án: C
Bài tập 4: Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x + 4} – 2}{x^2 + x}$ là:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
TXĐ: $D = [-4; +\infty) \setminus \{-1; 0\}$.
• Tại $x = 0$: $\lim_{x \to 0} y = \lim_{x \to 0} \frac{(x+4)-4}{x(x+1)(\sqrt{x+4}+2)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{(x+1)(\sqrt{x+4}+2)} = \frac{1}{1 \cdot 4} = \frac{1}{4} \neq \pm\infty \Rightarrow x = 0$ không là TCĐ.
• Tại $x = -1$: $\lim_{x \to -1^+} y = +\infty \Rightarrow x = -1$ là 1 TCĐ.
Vậy đồ thị có đúng $1$ đường tiệm cận đứng.
👉 Chọn đáp án: A
Bài tập 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{x^2 – 2x + m}$ có đúng hai đường tiệm cận đứng.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình mẫu số $g(x) = x^2 – 2x + m = 0$ có $2$ nghiệm phân biệt khác nghiệm của tử số ($x = -1$):
$$\begin{cases} \Delta’ = 1 – m > 0 \\ g(-1) = (-1)^2 – 2(-1) + m \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m < 1 \\ 3 + m \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m < 1 \\ m \neq -3 \end{cases}$$
👉 Chọn đáp án: A
Để lại phản hồi