Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số (u_n) biết u_1 = 5 và u_{n+1} = 3u_n – 4

Dạng toán: Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi bậc nhất

Phương pháp giải:

Đối với dãy số cho bởi hệ thức $u_{n+1} = a u_n + b$ với $a \neq 1$ và $a \neq 0$, ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Tìm hằng số $c$ sao cho $u_{n+1} – c = a(u_n – c)$. Phân tích ra ta có $c = \frac{b}{1-a}$.
• Bước 2: Đặt dãy phụ $v_n = u_n – c$. Khi đó ta có $v_{n+1} = a v_n$. Suy ra $(v_n)$ là một cấp số nhân với công bội $q = a$ và số hạng đầu $v_1 = u_1 – c$.
• Bước 3: Viết công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân $(v_n)$: $v_n = v_1 \cdot q^{n-1}$.
• Bước 4: Suy ra công thức của dãy ban đầu: $u_n = v_n + c$.

Đề bài:

Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số $(u_n)$ được xác định bởi: $u_1 = 5$ và $u_{n+1} = 3u_n – 4$ với mọi $n \ge 1$.

Lời giải chi tiết:

Theo phương pháp trên, ta tìm hằng số $c$ thỏa mãn: $c = \frac{-4}{1-3} = 2$.

Đặt $v_n = u_n – 2$. Khi đó ta có:

$v_{n+1} = u_{n+1} – 2 = (3u_n – 4) – 2 = 3u_n – 6 = 3(u_n – 2) = 3v_n$.

Do đó, dãy số $(v_n)$ là một cấp số nhân với công bội $q = 3$ và số hạng đầu tiên $v_1 = u_1 – 2 = 5 – 2 = 3$.

Công thức số hạng tổng quát của dãy $(v_n)$ là: $v_n = v_1 \cdot q^{n-1} = 3 \cdot 3^{n-1} = 3^n$.

Vì $v_n = u_n – 2$ nên ta suy ra: $u_n = v_n + 2 = 3^n + 2$.

Vậy công thức số hạng tổng quát của dãy số là: $u_n = 3^n + 2$.

Bài tập tương tự:

• Bài 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số $(u_n)$ biết $u_1 = 3$ và $u_{n+1} = 2u_n + 1$.
  
  Xem đáp án và lời giải

  Hằng số $c = \frac{1}{1-2} = -1$. Đặt $v_n = u_n + 1 \Rightarrow v_{n+1} = 2v_n$. $(v_n)$ là cấp số nhân có $v_1 = 4, q = 2 \Rightarrow v_n = 4 \cdot 2^{n-1} = 2^{n+1}$. Vậy $u_n = 2^{n+1} – 1$.

• Bài 2: Tìm số hạng tổng quát của dãy số $(u_n)$ biết $u_1 = 2$ và $u_{n+1} = 4u_n – 3$.
  
  Xem đáp án và lời giải

  Hằng số $c = \frac{-3}{1-4} = 1$. Đặt $v_n = u_n – 1 \Rightarrow v_{n+1} = 4v_n$. $(v_n)$ là cấp số nhân có $v_1 = 1, q = 4 \Rightarrow v_n = 4^{n-1}$. Vậy $u_n = 4^{n-1} + 1$.

• Bài 3: Tìm số hạng tổng quát của dãy số $(u_n)$ biết $u_1 = 5$ và $u_{n+1} = -2u_n + 6$.
  
  Xem đáp án và lời giải

  Hằng số $c = \frac{6}{1 – (-2)} = 2$. Đặt $v_n = u_n – 2 \Rightarrow v_{n+1} = -2v_n$. $(v_n)$ là cấp số nhân có $v_1 = 3, q = -2 \Rightarrow v_n = 3(-2)^{n-1}$. Vậy $u_n = 3(-2)^{n-1} + 2$.

• Bài 4: Tìm số hạng tổng quát của dãy số $(u_n)$ biết $u_1 = 0$ và $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 2$.
  
  Xem đáp án và lời giải

  Hằng số $c = \frac{2}{1 – 1/2} = 4$. Đặt $v_n = u_n – 4 \Rightarrow v_{n+1} = \frac{1}{2}v_n$. $(v_n)$ là cấp số nhân có $v_1 = -4, q = \frac{1}{2} \Rightarrow v_n = -4\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$. Vậy $u_n = 4 – 4\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$.

• Bài 5: Tìm số hạng tổng quát của dãy số $(u_n)$ biết $u_1 = -1$ và $u_{n+1} = 5u_n + 8$.
  
  Xem đáp án và lời giải

  Hằng số $c = \frac{8}{1-5} = -2$. Đặt $v_n = u_n + 2 \Rightarrow v_{n+1} = 5v_n$. $(v_n)$ là cấp số nhân có $v_1 = 1, q = 5 \Rightarrow v_n = 5^{n-1}$. Vậy $u_n = 5^{n-1} – 2$.