• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Quốc gia Môn Toán
  • Trắc nghiệm toán 12
  • Máy tính

Bài 2 Dãy số – Chương 3 – Đại số 11

Đăng ngày: 27/11/2019 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Toán lớp 11 Tag với:Dãy số, Học chương 3 đại số 11

Mục lục:

  1. 1. Dãy số
  2. 2. Cách cho dãy số
  3. 3. Dãy số tăng, dãy số giảm
  4. 4. Dãy số bị chặn
  5. Bài tập minh họa
  6. Vấn đề 1: Xác định số hạng của dãy số
    1. Ví dụ 1:
    2. Hướng dẫn:
    3. Ví dụ 2:
    4. Hướng dẫn:
  7. Vấn đề 2: Dãy số đơn điệu – Dãy số bị chặn
    1. Ví dụ 3:
    2. Hướng dẫn:

1. Dãy số

Dãy số là tập hợp các giá trị của hàm số \(u:\mathbb{N}* \to \mathbb{R},{\rm{ }}n \to u(n)\)

Được sắp xếp theo thứ tự tăng dần liên tiếp theo đối số tự nhiên \(n\):

\(u(1),u(2),u(3),…,u(n),…\)

\( \bullet {\rm{ }}\)Ta kí hiệu \(u(n)\) bởi \({u_n}\) và gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số, \({u_1}\) được gọi là số hạng đầu của dãy số.

\( \bullet \) Ta có thể viết dãy số dưới dạng khai triển \({u_1},{u_2},…,{u_n},…\) hoặc dạng rút gọn \(({u_n})\).

2. Cách cho dãy số

Người ta thường cho dãy số theo các cách:

\( \bullet \) Cho số hạng tổng quát, tức là: cho hàm số u xác định dãy số đó

\( \bullet \) Cho bằng công thức truy hồi, tức là:

* Cho một vài số hạng đầu của dãy

* Cho hệ thức biểu thị số hạng tổng quát qua số hạng (hoặc một vài số hạng) đứng trước nó.

3. Dãy số tăng, dãy số giảm

\( \bullet \) Dãy số \(({u_n})\) gọi là dãy tăng nếu \({u_n} < {u_{n + 1}}{\rm{  }}\forall n \in \mathbb{N}*\)

\( \bullet \) Dãy số \(({u_n})\) gọi là dãy giảm nếu \({u_n} > {u_{n + 1}}{\rm{  }}\forall n \in \mathbb{N}*\)

4. Dãy số bị chặn

\( \bullet \) Dãy số \(({u_n})\) gọi là dãy bị chặn trên nếu có một số thực \(M\) sao cho \({u_n} < M{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\).

\( \bullet \) Dãy số \(({u_n})\) gọi là dãy bị chặn dưới nếu có một số thực \(m\) sao cho \({u_n} > m{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\).

\( \bullet \) Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn, tức là tồn tại số thực dương  \(M\) sao cho \(\left| {{u_n}} \right| < M{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\).

Bài tập minh họa

Vấn đề 1: Xác định số hạng của dãy số

Ví dụ 1:

Cho dãy số \(({u_n})\) được xác định bởi \({u_n} = \frac{{{n^2} + 3n + 7}}{{n + 1}}\)

a) Viết năm số hạng đầu của dãy;

b) Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn:

a) Ta có năm số hạng đầu của dãy

\({u_1} = \frac{{{1^2} + 3.1 + 7}}{{1 + 1}} = \frac{{11}}{2}\), \({u_2} = \frac{{17}}{3},{u_3} = \frac{{25}}{4},{u_4} = 7,{u_5} = \frac{{47}}{6}\)

b) Ta có: \({u_n} = n + 2 + \frac{5}{{n + 1}}\), do đó \({u_n}\) nguyên khi và chỉ khi \(\frac{5}{{n + 1}}\) nguyên hay \(n + 1\) là ước của 5. Điều đó xảy ra khi \(n + 1 = 5 \Leftrightarrow n = 4\)

Vậy dãy số có duy nhất một số hạng nguyên là \({u_4} = 7\).

 

Ví dụ 2:

Cho dãy số \(({u_n})\)xác định bởi:\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_n} = 2{u_{n – 1}} + 3{\rm{  }}\forall n \ge 2\end{array} \right.\).

a) Viết năm số hạng đầu của dãy;

b) Chứng minh rằng \({u_n} = {2^{n + 1}} – 3\);

c) Số hạng thứ \({2012^{2012}}\) của dãy số có chia hết cho 7 không?

Hướng dẫn:

a) Ta có 5 số hạng đầu của dãy là:

\({u_1} = 1;\)\({u_2} = 2{u_1} + 3 = 5\); \({u_3} = 2{u_2} + 3 = 13;{\rm{ }}{u_4} = 2{u_3} + 3 = 29\)

\({u_5} = 2{u_4} + 3 = 61\).

b) Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp

* Với \(n = 1 \Rightarrow {u_1} = {2^{1 + 1}} – 3 = 1 \Rightarrow \) bài toán đúng với \(N = 1\)

* Giả sử \({u_k} = {2^{k + 1}} – 3\), ta chứng minh \({u_{k + 1}} = {2^{k + 2}} – 3\)

Thật vậy, theo công thức truy hồi ta có:

\({u_{k + 1}} = 2{u_k} + 3 = 2({2^{k + 1}} – 3) + 3 = {2^{k + 2}} – 3\) đpcm.

c) Ta xét phép chia của \(n\) cho 3

* \(n = 3k \Rightarrow {u_n} = 2({2^{3k}} – 1) – 1\)

Do \({2^{3k}} – 1 = {8^k} – 1 = 7.A \vdots 7 \Rightarrow {u_n}\) không chia hết cho 7

* \(n = 3k + 1 \Rightarrow {u_n} = 4({2^{3k}} – 1) + 1 \Rightarrow {u_n}\) không chia hết cho 7

* \(n = 3k + 2 \Rightarrow {u_n} = 8({2^{3k}} – 1) + 5 \Rightarrow {u_n}\) không chia hết cho 7

Vậy số hạng thứ \({2012^{2012}}\) của dãy số không chia hết cho 7.

 

Vấn đề 2: Dãy số đơn điệu – Dãy số bị chặn

Phương pháp:

\( \bullet \)  Để xét tính đơn điệu của dãy số \(({u_n})\) ta xét : \({k_n} = {u_{n + 1}} – {u_n}\)

* Nếu \({k_n} > 0{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}* \Rightarrow \) dãy \(({u_n})\) tăng

* Nếu \({k_n} < 0{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}* \Rightarrow \) dãy \(({u_n})\) giảm.

Khi \({u_n} > 0{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\) ta có thể xét \({t_n} = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\)

* Nếu \({t_n} > 1 \Rightarrow \) dãy \(({u_n})\) tăng

* Nếu \({t_n} < 1 \Rightarrow \) dãy \(({u_n})\) giảm.

\( \bullet \) Để xét tính bị chặn của dãy số ta có thể dự đoán rồi chứng minh bằng quy nạp.

 

Ví dụ 3:

Cho dãy số \(({u_n}):\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_n} = \frac{{{u_{n – 1}} + 1}}{2}{\rm{ }}\forall n \ge 2\end{array} \right.\). Chứng minh rằng dãy \(({u_n})\) là dãy giảm và bị chặn.

Hướng dẫn:

Ta có: \({u_n} – {u_{n – 1}} = \frac{{1 – {u_{n – 1}}}}{2}\)

Do đó, để chứng minh dãy (un) giảm ta chứng minh \({u_n} > 1{\rm{ }}\forall n \ge 1\)

Thật vậy:

Với \(n = 1 \Rightarrow {u_1} = 2 > 1\)

Giả sử \({u_k} > 1 \Rightarrow {u_{k + 1}} = \frac{{{u_k} + 1}}{2} > \frac{{1 + 1}}{2} = 1\)

Theo nguyên lí quy nạp ta có \({u_n} > 1{\rm{ }}\forall n \ge 1\)

Suy  ra \({u_n} – {u_{n – 1}} < 0 \Leftrightarrow {u_n} < {u_{n – 1}}{\rm{  }}\forall n \ge 2\) hay dãy (un) giảm

Theo chứng minh trên, ta có: \(1 < {u_n} < {u_1} = 2{\rm{ }}\forall n \ge 1\)

Vậy dãy (un) là dãy bị chặn.

Thuộc chủ đề:Toán lớp 11 Tag với:Dãy số, Học chương 3 đại số 11

Bài liên quan:

  1. Tự học Bài Dãy số – Toán 11
  2. Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học – Chương 3 – Đại số 11
  3. Ôn tập chương 3: Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân – Đại số 11
  4. Bài 4. Cấp số nhân – Chương 3 – Đại số 11
  5. Bài 3. Cấp số cộng – Chương 3 – Đại số 11

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC

  • Học toán lớp 11




Booktoan.com (2015 - 2022) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.