1. Phương pháp quy nạp toán học và cách áp dụng.
Phương pháp quy nạp toán học:
Để chứng minh một mệnh đề P(n) là đúng với mọi n Є N*, ta thường dùng phương pháp quy nạp toán học, được tiến hành theo hai bước như sau:
- Bước 1 (bước cơ sở): Kiểm tra mệnh đề P(n) đúng với n = 1.
- Bước 2 ( bước quy nạp): Giả thiết mệnh đề P(n) đúng với một số tự nhiên bất kì n = k, (k ≥ 1) (ta gọi là giả thiết quy nạp) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.
Chú ý:
Nếu phải chứng minh một mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p (p là số tự nhiên) thì:
- Ở bước 1, ta kiểm tra mệnh đề đúng với n = p.
- Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k, (k ≥ p) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.
2. Dãy số
Dãy số tăng : Dãy số Un được gọi là dãy số tăng nếu un+1 > un với mọi n Є N* ;
Dãy số giảm : Dãy số Un được gọi là dãy số giảm nếu un+1 < un với mọi n Є N* .
3. Cấp số cộng
Nếu $(u_{n})$là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi
$u_{n+1}=u_{n}+d; n \in \mathbb{N^{*}}$
Nếu cấp số cộng $(u_{n})$có số hạng đầu $(u_{1})$và công sai $d$ thì số hạng tổng quát $(u_{n})$được xác định bởi công thức:
$u_{n}=u_{1}+(n-1)d; n\geq 2$
Cho cấp số cộng $(u_{n})$.Đặt $S_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}+….+u_{n}$
Khi đó
$S_{n}=\frac{n(u_{1}+u_{n})}{2}$(4)
Chú ý: Vì $u_{n}=u_{1}+(n-1)d$nên công thức (4) có thể viết:
$S_{n}=nu_{1}+\frac{n(n-1)}{2}d$(4′)
4. Cấp số nhân
Nếu $(u_{n})$là cấp số nhân với công bội q ta có công thức truy hồi:
$u_{n+1}-u_{n}.q; n \in \mathbb{N}$(1)
Nếu cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1}$và công bội q thì số hạng tổng quát $u_{n}$được xác định bởi công thức:
$u_{n}=u_{1}.q^{n-1}; n\geq 2$(2)
3. Tính chất các số hạng của cấp số nhân
ĐỊNH LÍ 2:
Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đề là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:
$u_{k}^{2}=u_{k-1}.u_{k+1}; k\geq 2$(3)
hay $|u_{k}|=\sqrt{u_{k-1}.u_{k+1}}$
4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân
Cấp số nhân $(u_{n})$công bội q có thể viết dưới dạng:
$u_{1}, u_{1}q^{2}; u_{1}q^{3}; …; u_{1}q^{n-1}; ……$
Khi đó: $S_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+….+u_{n}=u_{1}+u_{1}q+u_{1}q^{2}+u_{1}q^{3}+…+u_{1}q^{n-1}$(4)
Nhân hai vế của (4) với q ta được:
$q.S_{n}=u_{1}+u_{1}q^{2}+u_{1}q^{3}+…+u_{1}q^{n-1}$(5)
Trừ từng vế tương ứng của các đẳng thức (4) và (5) ta được:
$(1-q)S_{n}=u_{1}(1-q^{n})$
Cho cấp số nhân $(u_{n})$với công bội $q\neq 1$
Đặt: $S_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+….+u_{n}$
Khi đó: $S_{n}=\frac{u_{1}(1-q^{n})}{1-q}$
Trả lời