• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán, Lý, Hóa, Sinh, Anh, Soạn Văn từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Môn Lý
  • Môn Hóa
  • Môn Anh
  • Môn Sinh
  • Môn Văn
Bạn đang ở:Trang chủ / Toán lớp 11 / Bài 3. Cấp số cộng – Chương 3 – Đại số 11

Bài 3. Cấp số cộng – Chương 3 – Đại số 11

27/11/2019 by admin Để lại bình luận Thuộc chủ đề:Toán lớp 11 Tag với:Cấp số, Học chương 3 đại số 11

Mục lục:

  1. 1. Định nghĩa
  2. 2. Các tính chất
  3. Bài tập minh họa
  4. Vấn đề 1: Xác định cấp số cộng và xác yếu tố của cấp số cộng
  5. Vấn đề 2: Chứng minh tính chất của cấp số cộng
  6. Vấn đề 3: Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng

1. Định nghĩa

Dãy số (un) được xác định bởi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = a}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} + d}\end{array}} \right.,{\rm{ }}n \in {N^*}\)  gọi là cấp số cộng; \(d\) gọi là công sai.

2. Các tính chất

\( \bullet \)  Số hạng thứ n được cho bởi công thức: \({u_n} = {u_1} + (n – 1)d\).

\( \bullet \) Ba số hạng \({u_k},{u_{k + 1}},{u_{k + 2}}\) là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi \({u_{k + 1}} = \frac{1}{2}\left( {{u_k} + {u_{k + 2}}} \right)\).

\( \bullet \) Tổng \(n\) số hạng đầu tiên \({S_n}\) được xác định bởi công thức :

\({S_n} = {u_1} + {u_2} + … + {u_n} = \frac{n}{2}\left( {{u_1} + {u_n}} \right) = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n – 1} \right)d} \right]\).

Bài tập minh họa

Vấn đề 1: Xác định cấp số cộng và xác yếu tố của cấp số cộng

Phương pháp:

\( \bullet \) Dãy số \(({u_n})\) là một cấp số cộng \( \Leftrightarrow {u_{n + 1}} – {u_n} = d\) không phụ thuộc vào n và \(d\) là công sai.

\( \bullet \) Ba số \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng \( \Leftrightarrow a + c = 2b\).

\( \bullet \) Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua \({u_1}\) và \(d\).

 

Ví dụ 1:

Cho CSC \(({u_n})\) thỏa : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2} – {u_3} + {u_5} = 10}\\{{u_4} + {u_6} = 26}\end{array}} \right.\)

a) Xác định công sai.

b) Công thức tổng quát của cấp số cộng.

c) Tính \(S = {u_1} + {u_4} + {u_7} + … + {u_{2011}}\).

Hướng dẫn:

Gọi \(d\) là công sai của CSC, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}({u_1} + d) – ({u_1} + 2d) + ({u_1} + 4d) = 10\\({u_1} + 3d) + ({u_1} + 5d) = 26\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = 10\\{u_1} + 4d = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 3\end{array} \right.\)

Ta có công sai \(d = 3\) và số hạng tổng quát : \({u_n} = {u_1} + (n – 1)d = 3n – 2\).

Ta có các số hạng \({u_1},{u_4},{u_7},…,{u_{2011}}\) lập thành một CSC gồm 670 số hạng với công sai \(d’ = 3d\), nên ta có: \(S = \frac{{670}}{2}\left( {2{u_1} + 669d’} \right) = 673015\)

Ví dụ 2:

Cho cấp số cộng \(({u_n})\) thỏa: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} + 3{u_3} – {u_2} =  – 21\\3{u_7} – 2{u_4} =  – 34\end{array} \right.\).

a) Tính số hạng thứ 100 của cấp số cộng.

b) Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số cộng.

c) Tính \(S = {u_4} + {u_5} + … + {u_{30}}\).

Hướng dẫn:

Từ giả thiết bài toán, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 4d + 3({u_1} + 2d) – ({u_1} + d) =  – 21\\3({u_1} + 6d) – 2({u_1} + 3d) =  – 34\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d =  – 7\\{u_1} + 12d =  – 34\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\d =  – 3\end{array} \right.\).

a) Số hạng thứ 100 của cấp số: \({u_{100}} = {u_1} + 99d =  – 295\)

b) Tổng của 15 số hạng đầu: \({S_{15}} = \frac{{15}}{2}\left[ {2{u_1} + 14d} \right] =  – 285\)

c) \(S = {S_{30}} – {S_3} = 15\left( {2{u_1} + 29d} \right) – \frac{3}{2}\left( {2{u_1} + 2d} \right) =  – 1242\).

 

Vấn đề 2: Chứng minh tính chất của cấp số cộng

Phương pháp:

\( \bullet \) Sử dụng công thức tổng quát của cấp số, chuyển các đại lượng qua số hạng đầu và công sai, công bội.

\( \bullet \) Sử dụng tính chất của cấp số cộng: \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành CSC \( \Leftrightarrow a + c = 2b\)

 

Ví dụ 3:

Chứng minh rằng các số: \(1,\sqrt 3 ,3\) không thể cùng thuộc một CSC

Hướng dẫn:

Giả sử \(1,\sqrt 3 ,3\) là số hạng thứ \(m,n,p\) của một CSC \(({u_n})\).

Ta có:

\(\sqrt 3  = \frac{{3 – \sqrt 3 }}{{\sqrt 3  – 1}} = \frac{{{u_p} – {u_n}}}{{{u_n} – {u_m}}} = \frac{{{u_1}(p – n)}}{{{u_1}(n – m)}} = \frac{{p – n}}{{n – m}}\) vô lí vì \(\sqrt 3 \) là số vô tỉ, còn \(\frac{{p – n}}{{n – m}}\) là số hữu tỉ.

 

Vấn đề 3: Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng

Phương pháp: \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành CSC \( \Leftrightarrow a + c = 2b\)

 

Ví dụ 4:

Tìm \(x\) biết : \({x^2} + 1,x – 2,1 – 3x\) lập thành cấp số cộng.

Hướng dẫn:

Ta có: \({x^2} + 1,x – 2,1 – 3x\) lập thành cấp số cộng \( \Leftrightarrow {x^2} + 1 + 1 – 3x = 2(x – 2) \Leftrightarrow {x^2} – 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = 2\,;\,x = 3\)

Vậy \(x = 2,x = 3\) là những giá trị cần tìm.

 

Ví dụ 5:

Xác định m để phương trình \({x^3} – 3{x^2} – 9x + m = 0\) có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

Hướng dẫn:

Giải sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

Khi đó:\({x_1} + {x_3} = 2{x_2},{x_1} + {x_2} + {x_3} = 3 \Rightarrow {x_2} = 1\)

Thay vào phương trình ta có: \(m = 11\).

Với \(m = 11\) ta có phương trình :\({x^3} – 3{x^2} – 9x + 11 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} – 2x – 11} \right) = 0 \Leftrightarrow {x_1} = 1 – \sqrt {12} ,{x_2} = 1,{x_3} = 1 + \sqrt {12} \)

Ba nghiệm này lập thành CSC.

Vậy \(m = 11\) là giá trị cần tìm.

Bài liên quan:

  • Phát triển câu 2 đề tốt nghiệp THPT 2020 – Cấp số
  • Tự học Bài Cấp số nhân – Toán 11
  • Tự học Bài Cấp số cộng – Toán 11
  • Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học – Chương 3 – Đại số 11
  • Ôn tập chương 3: Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân – Đại số 11
  • Bài 4. Cấp số nhân – Chương 3 – Đại số 11
  • Bài 2 Dãy số – Chương 3 – Đại số 11

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2020) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Lý, Hóa, Sinh, Anh, Soạn Văn, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.