Nội dung phương pháp quy nạp toán học:
Cho \({n_0}\) là một số nguyên dương và \(P(n)\) là một mệnh đề có nghĩa với mọi số tự nhiên \(n \ge {n_0}\). Nếu
(1) \(P({n_0})\) là đúng và
(2) Nếu \(P(k)\) đúng, thì \(P(k + 1)\)cũng đúng với mọi số tự nhiên \(k \ge {n_0}\);
thì mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên\(n \ge {n_0}\) .
Khi ta bắt gặp bài toán:
Chứng minh mệnh đề \(P(n)\) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge {n_0},\)\({n_0} \in \mathbb{N}\) ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp như sau
Bước 1: Kiểm tra \(P({n_0})\) có đúng hay không. Nếu bước này đúng thì ta chuyển qua bước hai
Bước 2: Với \(k \ge {n_0}\), giả sử \(P(k)\) đúng ta cần chứng minh \(P(k + 1)\) cũng đúng.
Kết luận: \(P(n)\) đúng với \(\forall n \ge {n_0}\).
Lưu ý: Bước 2 gọi là bước quy nạp, mệnh đề \(P(k)\) đúng gọi là giả thiết quy nạp.
Bài tập minh họa
Vấn đề 1: Dùng quy nạp để chứng minh đẳng thức – Bất đẳng thức
Phương pháp: Giả sử cần chứng minh đẳng thức \(P(n) = Q(n)\) (hoặc \(P(n) > Q(n)\)) đúng với \(\forall n \ge {n_0},{\rm{ }}{n_0} \in \mathbb{N}\) ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tính \(P({n_0}),{\rm{ }}Q({n_0})\) rồi chứng minh \(P({n_0}) = Q({n_0})\)
Bước 2: Giả sử \(P(k) = Q(k);{\rm{ }}k \in \mathbb{N},k \ge {n_0}\), ta cần chứng minh
\(P(k + 1) = Q(k + 1)\).
Ví dụ 1:
Chứng minh rằng \(\forall n \in {{\rm N}^*}\) ta luôn có đẳng thức sau:
\(1 + 2 + … + n = \,\frac{{n(n + 1)}}{2}\)
Hướng dẫn:
Đặt \({A_n} = 1 + 2 + … + n = \,\frac{{n(n + 1)}}{2}\,\)
Với n=1, ta có: \(1 = \frac{{1.(1 + 1)}}{2} = 1\) (đúng)
Giả sử với \(n = k \ge 1\) ta có:
\({A_n} = 1 + 2 + … + n = \,\frac{{n(n + 1)}}{2}\,\) (giả thiết quy nạp)
Ta phải chứng minh: \({A_{n + 1}} = 1 + 2 + … + n + (n + 1) = \,\frac{{(n + 1)(n + 2)}}{2}\)
Ta có: \({A_{n + 1}} = 1 + 2 + … + n + (n + 1) = \,\frac{{n(n + 1)}}{2} + (n + 1)\)
\(\Leftrightarrow {A_{n + 1}} = \,\frac{{n(n + 1) + 2(n + 1)}}{2} = \frac{{(n + 1)(n + 2)}}{2}\) ( điều phải chứng minh).
Vậy \(1 + 2 + … + n = \,\frac{{n(n + 1)}}{2}\) \(\forall n \in {{\rm N}^*}\).
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng \(\forall n \in {{\rm N}^*}\) ta luôn có đẳng thức sau:
\(1 + 3 + … + {(2n – 1)^2} = \,\frac{{n(4{n^2} – 1)}}{3}\)
Hướng dẫn:
Đặt \({A_n} = 1 + 3 + … + {(2n – 1)^2} = \,\frac{{n(4{n^2} – 1)}}{3}\)
Với n= 1: \({(2.1 – 1)^2} = \frac{{1.({{4.1}^2} – 1)}}{3} = 1\) (đúng)
Giả sử với \(n = k \ge 1\) ta có:
\(1 + 3 + … + {(2n – 1)^2} = \,\frac{{n(4{n^2} – 1)}}{3}\) (giả thiết quy nạp)
Ta phải chứng minh:
\({A_{n + 1}} = 1 + 3 + … + {(2n – 1)^2} + \,{[2(n + 1) – 1]^2} = \,\frac{{(n + 1)[4{{(n + 1)}^2} – 1]}}{3}\,\)
Ta có: \(VT = 1 + 3 + … + {(2n – 1)^2} + \,{[2(n + 1) – 1]^2}\)
Theo giả thiết quy nạp ở trên: \(VT = \frac{{n(4{n^2} – 1)}}{3} + \,{[2(n + 1) – 1]^2}\)
= \(\frac{{4{n^3} – n + 3{{(2n + 1)}^2}}}{3}\) \(= \frac{{4{n^3} – n + 12{n^2} + 12n + 3}}{3}\)
\(= \frac{{4{n^3} + 12{n^2} + 11n + 3}}{3}\) \(= \frac{{4{n^3} + 4{n^2} + \,8{n^2} + 8n + 3n + 3}}{3}\)
\(VT = \frac{{(n + 1)(4{n^2} + 8n + 3)}}{3}\) (1)
Ta lại có: \({\rm{VP}} = \,\frac{{(n + 1)[4{{(n + 1)}^2} – 1]}}{3}\,\)
\(= \,\frac{{(n + 1)[4({n^2} + 2n + 1) – 1]}}{3}\,\)
\(= \,\frac{{(n + 1)(4{n^2} + 8n + 4 – 1)}}{3}\,\)
\({\rm{VP}} = \,\frac{{(n + 1)(4{n^2} + 8n + 3)}}{3}\,\) (2)
Từ (1) và (2): \({A_{n + 1}} = 1 + 3 + … + {(2n – 1)^2} + \,{[2(n + 1) – 1]^2} = \,\frac{{(n + 1)[4{{(n + 1)}^2} – 1]}}{3}\,\)
Vậy \(1 + 3 + … + {(2n – 1)^2} = \,\frac{{n(4{n^2} – 1)}}{3}\) \(\forall n \in {{\rm N}^*}\).
Ví dụ 3:
Chứng mình với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\) ta luôn có: \(1 + 2 + 3 + … + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}\)
Lời giải:
Đặt \(P(n) = 1 + 2 + 3 + … + n\) : tổng n số tự nhiên đầu tiên : \(Q(n) = \frac{{n(n + 1)}}{2}\)
Ta cần chứng minh \(P(n) = Q(n){\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N},n \ge 1\).
Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(P(1) = 1,{\rm{ }}Q(1) = \frac{{1(1 + 1)}}{2} = 1\)
\( \Rightarrow P(1) = Q(1) \Rightarrow (1)\) đúng với \(n = 1\).
Bước 2: Giả sử \(P(k) = Q(k)\) với \(k \in \mathbb{N},k \ge 1\) tức là:
\(1 + 2 + 3 + … + k = \frac{{k(k + 1)}}{2}\) (1)
Ta cần chứng minh \(P(k + 1) = Q(k + 1)\), tức là:
\(1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}\) (2)
Thật vậy: \(VT(2) = (1 + 2 + 3 + … + k) + (k + 1)\)
\( = \frac{{k(k + 1)}}{2} + (k + 1)\) (Do đẳng thức (1))
\( = (k + 1)(\frac{k}{2} + 1) = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2} = VP(2)\)
Vậy đẳng thức cho đúng với mọi \(n \ge 1\).
Ví dụ 4:
Chứng minh với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\) ta luôn có: \(1 + 3 + 5 + … + 2n – 1 = {n^2}\)
Lời giải:
\( \bullet \) Với \(n = 1\) ta có \({\rm{VT}} = 1,{\rm{ VP}} = {1^2} = 1\)
Suy ra \(VT = VP \Rightarrow \) đẳng thức cho đúng với \(n = 1\).
\( \bullet \) Giả sử đẳng thức cho đúng với \(n = k\) với \(k \in \mathbb{N},k \ge 1\) tức là:
\(1 + 3 + 5 + … + 2k – 1 = {k^2}\) (1)
Ta cần chứng minh đẳng thức cho đúng với \(n = k + 1\), tức là:
\(1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2k + 1) = {\left( {k + 1} \right)^2}\) (2)
Thật vậy: \(VT(2) = (1 + 3 + 5 + … + 2k – 1) + (2k + 1)\)
\( = {k^2} + (2k + 1)\) (Do đẳng thức (1))
\( = {(k + 1)^2} = VP(1.2)\)
Vậy đẳng thức cho đúng với mọi \(n \ge 1\).
Vấn đề 2: Ứng dụng phương pháp quy nạp trong số học và trong hình học
Ví dụ 5:
Chứng minh rằng \(\forall n \in {{\rm N}^*}\) :
\({n^3} + 2n\) chia hết cho 3.
Hướng dẫn:
Đặt \({A_n} = {n^3} + 2n\)
Với n= 1: \({A_n} = 1 + 2 = 3\, \vdots \,3\)
Giả sử với \(n = k \ge 1\) ta có:
\({A_n} = {n^3} + 2n\,\, \vdots \,\,3\) (giả thiết quy nạp)
Ta phải chứng minh:
\({A_{n + 1}} = {(n + 1)^3} + 2(n + 1)\,\, \vdots \,\,3\)
Ta có: \({A_{n + 1}} = {(n + 1)^3} + 2(n + 1)\, = \,{n^3} + 3{n^2} + 3n + 1 + 2n + 2\)
\(= \,{n^3} + 2n + 3({n^2} + n + 1)\)
Theo giả thiết quy nạp: \({n^3} + 2n\,\, \vdots \,\,3\)
Đồng thời: \(3({n^2} + n + 1)\,\, \vdots \,\,3\)
Vậy \({A_{n + 1}} = {(n + 1)^3} + 2(n + 1)\,\, \vdots \,\,3\)
Kết luận: \({n^3} + 2n\,\, \vdots \,\,3\) \(\forall n \in {{\rm N}^*}\)
Ví dụ 6:
Cho \(n\) là số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: \({a_n} = {16^n}-15n-1 \vdots 225\)
Hướng dẫn:
\( \bullet \) Với \(n = 1\) ta có: \({a_1} = 0 \Rightarrow {a_1} \vdots 225\).
\( \bullet \) Giả sử \({a_k} = {16^k} – 15k – 1 \vdots 225\), ta chứng minh
\({a_{k + 1}} = {16^{k + 1}} – 15(k + 1) – 1 \vdots 225\)
Thậ vậy: \({a_{k + 1}} = {16.16^k} – 15k – 16 = {16^k} – 15k – 1 – 15\left( {{{16}^k} – 1} \right)\)
\( = {a_k} – 15\left( {{{16}^k} – 1} \right)\)
Vì \({16^k} – 1 = 15.\left( {{{16}^{k – 1}} + {{16}^{k – 2}} + … + 1} \right) \vdots 15\) và \({a_k} \vdots 225\)
Nên ta suy ra \({a_{k + 1}} \vdots 225\). Vậy bài toán được chứng minh.
Ví dụ 7:
Chứng minh rằng tổng các trong một n – giác lồi \((n \ge 3)\) bằng \((n – 2){180^0}\).
Lời giải:
\( \bullet \) Với \(n = 3\) ta có tổng ba góc trong tam giác bằng \({180^0}\)
\( \bullet \) Giả sử công thức đúng cho tất cả k-giác, với \(k < n\), ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng cho n-giác. Ta có thể chia n-giác bằng một đường chéo thành ra hai đa giác. Nếu số cạnh của một đa giác là k+1, thì số cạnh của đa giác kia là n – k + 1, hơn nữa cả hai số này đều nhỏ hơn n. Theo giả thiết quy nạp tổng các góc của hai đa giác này lần lượt là \(\left( {k – 1} \right){180^0}\) và \(\left( {n – k – 1} \right){180^0}\).
Tổng các góc của n-giác bằng tổng các góc của hai đa giác trên, nghĩa là \((k – 1 + n – k – 1){180^0} = (n – 2){180^0}\)
Suy ra mệnh đề đúng với mọi \(n \ge 3\).
Trả lời