• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Quốc gia Môn Toán
  • Trắc nghiệm toán 12
  • Máy tính

Bài 4. Cấp số nhân – Chương 3 – Đại số 11

Đăng ngày: 27/11/2019 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Toán lớp 11 Tag với:Cấp số, Học chương 3 đại số 11

Mục lục:

  1. 1. Định nghĩa
  2. 2. Các tính chất
  3. Bài tập minh họa
    1. Vấn đề 1: Xác định cấp số và xác yếu tố của cấp số nhân
    2. Ví dụ 1:
    3. Hướng dẫn:
    4. Ví dụ 2:
    5. Hướng dẫn:
    6. Ví dụ 1: Tìm \(x\) biết \(1,{x^2},6 – {x^2}\) lập thành cấp số nhân.
    7. Hướng dẫn:
    8. Ví dụ 2:
    9. Hướng dẫn:

1. Định nghĩa

Dãy số (un) được xác định bởi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = a}\\{{u_{n + 1}} = {u_n}.q}\end{array}} \right.,{\rm{ }}n \in {N^*}\)  gọi là cấp số cộng; \(q\) gọi là công bội.

2. Các tính chất

\( \bullet \)  Số hạng thứ n được cho bởi công thức: \({u_n} = {u_1}{q^{n – 1}}\).

\( \bullet \) Ba số hạng \({u_k},{u_{k + 1}},{u_{k + 2}}\) là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi \(u_{k + 1}^2 = {u_k}.{u_{k + 2}}\).

\( \bullet \) Tổng \(n\) số hạng đầu tiên \({S_n}\) được xác định bởi công thức :

\({S_n} = {u_1} + {u_2} + … + {u_n} = {u_1}\frac{{{q^n} – 1}}{{q – 1}}\).

Bài tập minh họa

Vấn đề 1: Xác định cấp số và xác yếu tố của cấp số nhân

Phương pháp:

\( \bullet \) Dãy số \(({u_n})\) là một cấp số nhân \( \Leftrightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = q\) không phụ thuộc vào n và \(q\) là công bội.

\( \bullet \) Ba số \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân \( \Leftrightarrow ac = {b^2}\).

\( \bullet \) Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua \({u_1}\) và \(q\).

Ví dụ 1:

Cho cấp số nhân (un) có các số hạng khác không, tìm \({u_1}\) biết:

a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} = 15}\\{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 = 85}\end{array}} \right.\)

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} = 11}\\{{u_1} + {u_5} = \frac{{82}}{{11}}}\end{array}} \right.\)

Hướng dẫn:

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1}(1 + q + {q^2} + {q^3}) = 15\\u_1^2\left( {1 + {q^2} + {q^4} + {q^6}} \right) = 85\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\frac{{{q^4} – 1}}{{q – 1}} = 15\\u_1^2\frac{{{q^8} – 1}}{{{q^2} – 1}} = 85\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {\left( {\frac{{{q^4} – 1}}{{q – 1}}} \right)^2}\left( {\frac{{{q^2} – 1}}{{{q^8} – 1}}} \right) = \frac{{45}}{{17}} \Leftrightarrow \frac{{({q^4} – 1)(q + 1)}}{{(q – 1)({q^4} + 1)}} = \frac{{45}}{{17}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q = 2\\q = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

Từ đó ta tìm được \({u_1} = 1,{u_1} = 8\).

b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + q + {q^2} + {q^3} + {q^4}} \right) = 11\\{u_1}(1 + {q^4}) = \frac{{82}}{{11}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}q(1 + q + {q^2}) = \frac{{39}}{{11}}\\{u_1}(1 + {q^4}) = \frac{{82}}{{11}}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \frac{{{q^4} + 1}}{{{q^3} + {q^2} + q}} = \frac{{82}}{{39}} \Leftrightarrow q = 3,q = \frac{1}{3}\).

 

Ví dụ 2:

Cho cấp số nhân \(({u_n})\) thỏa: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = \frac{2}{{27}}\\{u_3} = 243{u_8}\end{array} \right.\).

a) Viết năm số hạng đầu của cấp số.

b) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số.

c) Số \(\frac{2}{{6561}}\) là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số?

Hướng dẫn:

Gọi \(q\) là công bội của cấp số. Theo giả thiết ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}\\{u_1}{q^2} = 243.{u_1}{q^7}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}\\{q^5} = \frac{1}{{243}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = \frac{1}{3}\\{u_1} = 2\end{array} \right.\)

a) Năm số hạng đầu của cấp số là:\({u_1} = 2,{u_2} = \frac{2}{3},{u_3} = \frac{2}{9};{u_4} = \frac{2}{{27}},{u_5} = \frac{2}{{81}}\).

b) Tổng 10 số hạng đầu của cấp số

\({S_{10}} = {u_1}\frac{{{q^{10}} – 1}}{{q – 1}} = 2.\frac{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{10}} – 1}}{{\frac{1}{3} – 1}} = 3\left[ {1 – {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{10}}} \right] = \frac{{59048}}{{19683}}\).

c) Ta có: \({u_n} = \frac{2}{{{3^{n – 1}}}} \Rightarrow {u_n} = \frac{2}{{6561}} \Leftrightarrow {3^{n – 1}} = 6561 = {3^8} \Rightarrow n = 9\)

Vậy \(\frac{2}{{6561}}\) là số hạng thứ 9 của cấp số.

 

Vấn đề 3: Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số nhân

Phương pháp: \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành CSN \( \Leftrightarrow ac = {b^2}\).

 

Ví dụ 1: Tìm \(x\) biết \(1,{x^2},6 – {x^2}\) lập thành cấp số nhân.

Hướng dẫn:

Ta có: \(1,{x^2},6 – {x^2}\) lập thành cấp số nhân  \( \Leftrightarrow {x^4} = 6 – {x^2} \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 2 .\)

 

Ví dụ 2:

Tìm \(x,y\) biết:

a) Các số \(x + 5y,5x + 2y,8x + y\) lập thành cấp số cộng  và  các số

\({\left( {y – 1} \right)^2},xy – 1,{\left( {x + 1} \right)^2}\) lập thành cấp số nhân.

b) Các số \(x + 6y,5x + 2y,8x + y\) lập thành cấp số cộng và các số \(x + \frac{5}{3}y,y – 1,2x – 3y\) lập thành cấp số nhân.

Hướng dẫn:

a) Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 5y + 8x + y = 2(5x + 2y)\\{(x + 1)^2}{(y – 1)^2} = {(xy – 1)^2}\end{array} \right.\) giải hệ này ta tìm được

\((x;y) = \left( { – \sqrt 3 ; – \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right);\left( {\sqrt 3 ;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\).

b) Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 6y + 8x + y = 2(5x + 2y)\\(x + \frac{5}{3}y)(2x – 3y) = {(y – 1)^2}\end{array} \right.\) giải hệ này ta tìm được

\((x;y) = \left( { – 3; – 1} \right);\left( {\frac{3}{8};\frac{1}{8}} \right)\).

Thuộc chủ đề:Toán lớp 11 Tag với:Cấp số, Học chương 3 đại số 11

Bài liên quan:

  1. Phát triển câu 2 đề tốt nghiệp THPT 2020 – Cấp số
  2. Tự học Bài Cấp số nhân – Toán 11
  3. Tự học Bài Cấp số cộng – Toán 11
  4. Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học – Chương 3 – Đại số 11
  5. Ôn tập chương 3: Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân – Đại số 11
  6. Bài 3. Cấp số cộng – Chương 3 – Đại số 11
  7. Bài 2 Dãy số – Chương 3 – Đại số 11

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC

  • Học toán lớp 11




Booktoan.com (2015 - 2022) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.