Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{v}=\left(2;2;4\right), \vec{u}=\left(6;6;1\right)$. Tính $\cos(\vec{u},\vec{v})$

Bài toán gốc

Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{v}=\left(2;2;4\right), \vec{u}=\left(6;6;1\right)$. Tính $\cos(\vec{u},\vec{v})$
A. $\dfrac{7}{219}\sqrt{435}$ B. $\dfrac{14}{219}\sqrt{110}$ C. $\dfrac{7}{219}\sqrt{438}$ D. $\dfrac{7}{219}\sqrt{437}$

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng toán cơ bản trong hình học giải tích không gian $Oxyz$: tính cosin của góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$. Phương pháp giải là áp dụng công thức tích vô hướng: $\cos(\vec{u},\vec{v}) = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$. Cần thực hiện các bước: 1. Tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$. 2. Tính độ dài (môđun) của từng vectơ $|\vec{u}|$ và $|\vec{v}|$. 3. Thay vào công thức và rút gọn kết quả (thường là khử căn ở mẫu).

Bài toán tương tự

1. Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{u}=\left(1; 2; 3\right)$ và $\vec{v}=\left(0; 1; 1\right)$. Tính $\cos(\vec{u},\vec{v})$.
A. $\dfrac{5\sqrt{7}}{14}$ B. $\dfrac{5\sqrt{7}}{7}$ C. $\dfrac{5}{14}$ D. $\dfrac{\sqrt{7}}{14}$
Đáp án đúng: A. $\dfrac{5\sqrt{7}}{14}$.
Lời giải ngắn gọn: Ta có $\vec{u} \cdot \vec{v} = 5$. $|\vec{u}| = \sqrt{14}$, $|\vec{v}| = \sqrt{2}$. Do đó $\cos(\vec{u},\vec{v}) = \dfrac{5}{\sqrt{28}} = \dfrac{5}{2\sqrt{7}} = \dfrac{5\sqrt{7}}{14}$.

2. Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u}=(3; -4; 0)$ và $\vec{v}=(1; 0; 2)$. Tính $\cos(\vec{u},\vec{v})$.
A. $\dfrac{3}{5}$ B. $\dfrac{3\sqrt{5}}{25}$ C. $\dfrac{\sqrt{5}}{25}$ D. $\dfrac{3}{25}$
Đáp án đúng: B. $\dfrac{3\sqrt{5}}{25}$.
Lời giải ngắn gọn: $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3$. $|\vec{u}| = \sqrt{9+16+0} = 5$. $|\vec{v}| = \sqrt{1+0+4} = \sqrt{5}$. $\cos(\vec{u},\vec{v}) = \dfrac{3}{5\sqrt{5}} = \dfrac{3\sqrt{5}}{25}$.

3. Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{a}=(1; 0; 1)$ và $\vec{b}=(-1; 2; 1)$. Tính $\cos(\vec{a},\vec{b})$.
A. $0$ B. $1$ C. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ D. $\dfrac{1}{2}$
Đáp án đúng: A. $0$.
Lời giải ngắn gọn: Tích vô hướng $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1(-1) + 0(2) + 1(1) = 0$. Vì tích vô hướng bằng 0 nên $\cos(\vec{a},\vec{b}) = 0$ (hai vectơ vuông góc).

4. Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{a}=(1; 1; -1)$ và $\vec{b}=(2; -1; 3)$. Tính $\cos(\vec{a},\vec{b})$.
A. $\dfrac{\sqrt{42}}{21}$ B. $\dfrac{-\sqrt{42}}{21}$ C. $\dfrac{-2}{21}$ D. $\dfrac{2}{21}$
Đáp án đúng: B. $\dfrac{-\sqrt{42}}{21}$.
Lời giải ngắn gọn: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 – 1 – 3 = -2$. $|\vec{a}| = \sqrt{3}$. $|\vec{b}| = \sqrt{14}$. $\cos(\vec{a},\vec{b}) = \dfrac{-2}{\sqrt{42}} = \dfrac{-2\sqrt{42}}{42} = \dfrac{-\sqrt{42}}{21}$.

5. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1; 1; 0), B(0; 2; 1), C(2; 1; 3)$. Tính cosin của góc $\widehat{BAC}$.
A. $\dfrac{2\sqrt{30}}{15}$ B. $\dfrac{\sqrt{30}}{15}$ C. $\dfrac{2}{15}$ D. $\dfrac{\sqrt{30}}{5}$
Đáp án đúng: B. $\dfrac{\sqrt{30}}{15}$.
Lời giải ngắn gọn: Ta tính $\vec{AB} = (-1; 1; 1)$ và $\vec{AC} = (1; 0; 3)$. Tích vô hướng $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = -1 + 0 + 3 = 2$. Độ dài: $|\vec{AB}| = \sqrt{3}$, $|\vec{AC}| = \sqrt{10}$. $\cos(\widehat{BAC}) = \dfrac{2}{\sqrt{3}\sqrt{10}} = \dfrac{2}{\sqrt{30}} = \dfrac{2\sqrt{30}}{30} = \dfrac{\sqrt{30}}{15}$.