Bài toán gốc
Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có $A\left(-3;-2;8\right),B\left(7;-3;7\right),C\left(2;2;-4\right),A’\left(6;6;-3\right)$. Tìm tọa độ điểm $B’$
A. $B’\left(-7;-6;7\right)$ B. $B’\left(-8;3;-3\right)$ C. $B’\left(16;5;-4\right)$ D. $B’\left(11;10;-15\right)$
Phân tích và Phương pháp giải
Đây là dạng toán tìm tọa độ đỉnh của hình hộp trong không gian Oxyz. Phương pháp giải dựa trên tính chất vector của hình hộp: các cạnh bên song song và bằng nhau, tức là $\vec{AA’} = \vec{BB’} = \vec{CC’} = \vec{DD’}$. Để tìm tọa độ đỉnh $B’$, ta sử dụng đẳng thức vector $\vec{BB’} = \vec{AA’}$. Ta tính vector $\vec{AA’}$, sau đó áp dụng công thức tìm tọa độ điểm $B’$ dựa trên tọa độ điểm $B$ và vector $\vec{BB’}$.
Bài toán tương tự
1. Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có $A\left(1; 2; 3\right), B\left(4; 5; 6\right), D\left(0; 1; 1\right), A’\left(2; 0; 5\right)$. Tìm tọa độ điểm $B’$.
A. $B’\left(3; 7; 8\right)$ B. $B’\left(5; 3; 8\right)$ C. $B’\left(5; 3; 4\right)$ D. $B’\left(4; 2; 7\right)$.
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn: Ta có $\vec{AA’} = A’ – A = (2-1; 0-2; 5-3) = (1; -2; 2)$. Vì $ABCD.A’B’C’D’$ là hình hộp nên $\vec{BB’} = \vec{AA’}$. Gọi $B'(x; y; z)$. Ta có $x-4 = 1 \Rightarrow x=5$; $y-5 = -2 \Rightarrow y=3$; $z-6 = 2 \Rightarrow z=8$. Vậy $B'(5; 3; 8)$.
2. Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có $A\left(0; 1; 1\right), B\left(2; 0; 3\right), D\left(1; 3; 2\right), A’\left(3; 3; 0\right)$. Tìm tọa độ điểm $C’$.
A. $C’\left(6; 4; 3\right)$ B. $C’\left(4; 5; 0\right)$ C. $C’\left(5; 4; 1\right)$ D. $C’\left(3; 2; 4\right)$.
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: Bước 1: Tìm $C$. $ABCD$ là hình bình hành nên $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$. $\vec{AB} = (2; -1; 2)$, $\vec{AD} = (1; 2; 1)$. $\vec{AC} = (3; 1; 3)$. $C = A + \vec{AC} = (0+3; 1+1; 1+3) = (3; 2; 4)$. Bước 2: Tìm $C’$. Ta có $\vec{AA’} = (3; 2; -1)$. $C’ = C + \vec{CC’} = C + \vec{AA’} = (3+3; 2+2; 4-1) = (6; 4; 3)$.
3. Trong không gian $Oxyz$, cho hình bình hành $ABCD$ có $A\left(5; 1; 4\right), B\left(3; 2; 1\right), C\left(4; 5; 6\right)$. Tìm tọa độ đỉnh $D$.
A. $D\left(5; 6; 9\right)$ B. $D\left(6; 4; 9\right)$ C. $D\left(2; -2; -1\right)$ D. $D\left(6; 4; 11\right)$.
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn: $ABCD$ là hình bình hành nên $\vec{AD} = \vec{BC}$. $\vec{BC} = (4-3; 5-2; 6-1) = (1; 3; 5)$. Gọi $D(x; y; z)$. $\vec{AD} = (x-5; y-1; z-4)$. Ta có $x-5=1 \Rightarrow x=6$; $y-1=3 \Rightarrow y=4$; $z-4=5 \Rightarrow z=9$. Vậy $D(6; 4; 9)$.
4. Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có $A\left(1; 0; 2\right), B\left(3; -1; 4\right), C\left(0; 5; 1\right), A’\left(2; 1; 3\right)$. Tìm tọa độ điểm $D’$.
Đáp án: $D’\left(-1; 7; 0\right)$.
Lời giải ngắn gọn: Bước 1: Tìm $D$. $ABCD$ là hình bình hành nên $\vec{AD} = \vec{BC}$. $\vec{BC} = (0-3; 5-(-1); 1-4) = (-3; 6; -3)$. $D = A + \vec{BC} = (1-3; 0+6; 2-3) = (-2; 6; -1)$. Bước 2: Tìm $D’$. Ta có $\vec{AA’} = (2-1; 1-0; 3-2) = (1; 1; 1)$. $D’ = D + \vec{DD’} = D + \vec{AA’} = (-2+1; 6+1; -1+1) = (-1; 7; 0)$.
5. Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có $A\left(1; 0; 1\right), B\left(2; 2; 0\right), D\left(0; 3; 2\right), D’\left(1; 5; 5\right)$. Tìm tọa độ đỉnh $C’$.
Đáp án: $C’\left(2; 7; 4\right)$.
Lời giải ngắn gọn: Bước 1: Tìm $C$. $ABCD$ là hình bình hành nên $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$. $\vec{AB} = (1; 2; -1)$, $\vec{AD} = (-1; 3; 1)$. $\vec{AC} = (0; 5; 0)$. $C = A + \vec{AC} = (1; 5; 1)$. Bước 2: Tìm $\vec{DD’}$. $\vec{DD’} = D’ – D = (1-0; 5-3; 5-2) = (1; 2; 3)$. Vì $\vec{CC’} = \vec{DD’}$ nên $C’ = C + \vec{CC’} = (1+1; 5+2; 1+3) = (2; 7; 4)$.