Bài toán gốc
Trong không gian $Oxyz$, cho $A\left(-4;1;0\right),B\left(-2;7;-4\right)$. Tìm tọa độ điểm $M$ thỏa mãn $2\overrightarrow{MA}+5\overrightarrow{MB}=\vec{0}$
A. $M\left(\dfrac{2}{7};-\dfrac{33}{7};-\dfrac{20}{7}\right)$ B. $M\left(-\dfrac{18}{7};\dfrac{37}{7};-\dfrac{20}{7}\right)$ C. $M\left(-\dfrac{18}{7};-\dfrac{33}{7};\dfrac{20}{7}\right)$ D. $M\left(\dfrac{2}{7};\dfrac{37}{7};\dfrac{20}{7}\right)$
Phân tích và Phương pháp giải
Đây là dạng toán tìm tọa độ điểm M thỏa mãn một đẳng thức vectơ tuyến tính dạng $k_1 ovecto{MA} + k_2 ovecto{MB} = ovecto{0}$. Điểm M chính là tâm tỉ cự của hai điểm A và B với các hệ số tương ứng. Phương pháp giải chung là sử dụng công thức tọa độ của vectơ và áp dụng điều kiện $ ovecto{V} = ovecto{0}$ khi tất cả các thành phần tọa độ bằng 0. Nếu $M(x, y, z)$, ta có $(k_1+k_2)x = k_1x_A + k_2x_B$, và tương tự cho y, z.
Bài toán tương tự
1. **(Tự luận)** Trong không gian $Oxyz$, cho $A(1; 2; 3)$ và $B(4; -1; 0)$. Tìm tọa độ điểm $M$ thỏa mãn $3 ovecto{MA} + 2 ovecto{MB} = ovecto{0}$.
* **Đáp án:** $M\left(\dfrac{11}{5}; \dfrac{4}{5}; \dfrac{9}{5}\right)$
* **Lời giải ngắn gọn:** Đặt $M(x, y, z)$. Ta có $5 ovecto{OM} = 3 ovecto{OA} + 2 ovecto{OB}$. Hoành độ $x = \dfrac{3(1) + 2(4)}{3+2} = \dfrac{11}{5}$. Tung độ $y = \dfrac{3(2) + 2(-1)}{5} = \dfrac{4}{5}$. Cao độ $z = \dfrac{3(3) + 2(0)}{5} = \dfrac{9}{5}$.
2. **(Trắc nghiệm)** Trong không gian $Oxyz$, cho $I(1; 0; -2)$ và $K(3; 4; 0)$. Tìm tọa độ điểm $P$ sao cho $4 ovecto{PI} – ovecto{PK} = ovecto{0}$.
A. $P\left(\dfrac{7}{5}; \dfrac{4}{5}; -\dfrac{8}{5}\right)$ B. $P\left(\dfrac{1}{3}; -\dfrac{4}{3}; -\dfrac{8}{3}\right)$ C. $P\left(1; -\dfrac{4}{3}; -\dfrac{8}{3}\right)$ D. $P\left(\dfrac{1}{3}; \dfrac{4}{3}; -\dfrac{8}{3}\right)$
* **Đáp án đúng: B.**
* **Giải thích:** Ta có $4 ovecto{PI} + (-1) ovecto{PK} = ovecto{0}$. Tổng hệ số là $4 – 1 = 3$. Hoành độ $x = \dfrac{4(1) – 1(3)}{3} = \dfrac{1}{3}$. Tung độ $y = \dfrac{4(0) – 1(4)}{3} = -\dfrac{4}{3}$. Cao độ $z = \dfrac{4(-2) – 1(0)}{3} = -\dfrac{8}{3}$.
3. **(Trắc nghiệm)** Trong không gian $Oxyz$, cho $C(5; -1; 2)$ và $D(-1; 5; 4)$. Tìm tọa độ điểm $N$ thỏa mãn $3 ovecto{NC} + 4 ovecto{DN} = ovecto{0}$.
A. $N(19; -23; -10)$ B. $N(1; 4; 6)$ C. $N(-19; 23; 10)$ D. $N(17; 19; 14)$
* **Đáp án đúng: C.**
* **Giải thích:** Điều kiện tương đương với $3 ovecto{NC} – 4 ovecto{ND} = ovecto{0}$. Tổng hệ số là $3 + (-4) = -1$. Hoành độ $x = \dfrac{3(5) – 4(-1)}{-1} = \dfrac{19}{-1} = -19$. Tung độ $y = \dfrac{3(-1) – 4(5)}{-1} = \dfrac{-23}{-1} = 23$. Cao độ $z = \dfrac{3(2) – 4(4)}{-1} = \dfrac{-10}{-1} = 10$. Vậy $N(-19; 23; 10)$.
4. **(Tự luận)** Trong không gian $Oxyz$, cho $A(0; 2; 4)$ và $B(6; 0; 2)$. Tìm tọa độ điểm $E$ sao cho $ ovecto{EA} + 2 ovecto{EB} = ovecto{0}$.
* **Đáp án:** $E\left(4; \dfrac{2}{3}; \dfrac{8}{3}\right)$
* **Lời giải ngắn gọn:** Ta có $3 ovecto{OE} = ovecto{OA} + 2 ovecto{OB}$. Hoành độ $x = \dfrac{1(0) + 2(6)}{3} = 4$. Tung độ $y = \dfrac{1(2) + 2(0)}{3} = \dfrac{2}{3}$. Cao độ $z = \dfrac{1(4) + 2(2)}{3} = \dfrac{8}{3}$.
5. **(Trắc nghiệm)** Trong không gian $Oxyz$, cho $P(1; 1; -1)$ và $Q(-1; 3; 5)$. Tìm tọa độ điểm $R$ thỏa mãn $5 ovecto{RP} + 3 ovecto{RQ} = ovecto{0}$.
A. $R\left(\dfrac{1}{4}; \dfrac{7}{4}; \dfrac{5}{4}\right)$ B. $R\left(\dfrac{1}{8}; \dfrac{7}{8}; \dfrac{5}{8}\right)$ C. $R\left(\dfrac{1}{8}; \dfrac{7}{8}; \dfrac{5}{4}\right)$ D. $R\left(\dfrac{1}{4}; 1; 1\right)$
* **Đáp án đúng: A.**
* **Giải thích:** Ta có $8 ovecto{OR} = 5 ovecto{OP} + 3 ovecto{OQ}$. Hoành độ $x = \dfrac{5(1) + 3(-1)}{8} = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$. Tung độ $y = \dfrac{5(1) + 3(3)}{8} = \dfrac{14}{8} = \dfrac{7}{4}$. Cao độ $z = \dfrac{5(-1) + 3(5)}{8} = \dfrac{10}{8} = \dfrac{5}{4}$. Vậy $R\left(\dfrac{1}{4}; \dfrac{7}{4}; \dfrac{5}{4}\right)$.