Bài toán gốc
Trong không gian $Oxyz$, cho $B\left(-5;2;-2\right),\overrightarrow{AB}=\left(-1;1;-5\right)$. Tìm tọa độ điểm $A$.
A. $A\left(-9;3;1\right)$ B. $A\left(-4;1;3\right)$ C. $A\left(4;-1;-3\right)$ D. $A\left(1;-1;5\right)$
Phân tích và Phương pháp giải
Đây là dạng toán cơ bản trong hình học tọa độ không gian Oxyz: Tìm tọa độ của một điểm (điểm đầu) khi biết tọa độ của điểm còn lại (điểm cuối) và vectơ nối hai điểm đó. Phương pháp giải dựa trên công thức tính tọa độ vectơ: Nếu $A(x_A, y_A, z_A)$ và $B(x_B, y_B, z_B)$, thì $\overrightarrow{AB} = (x_B – x_A, y_B – y_A, z_B – z_A)$. Từ đó, ta suy ra $x_A = x_B – x_{\overrightarrow{AB}}$, $y_A = y_B – y_{\overrightarrow{AB}}$, $z_A = z_B – z_{\overrightarrow{AB}}$.
Bài toán tương tự
{“cau_hoi_tuong_tu”: [“Trong không gian $Oxyz$, cho $B(3; 1; -4)$, và vectơ $\overrightarrow{AB} = (2; -3; 1)$. Tìm tọa độ điểm $A$.
A. $A(5; -2; -3)$ B. $A(1; 4; -5)$ C. $A(-1; -4; 5)$ D. $A(1; -4; -5)$.”, “Trong không gian $Oxyz$, cho $A(-2; 0; 5)$ và vectơ $\overrightarrow{AB} = (4; 1; -3)$. Tìm tọa độ điểm $B$.
A. $B(6; 1; 8)$ B. $B(2; 1; 2)$ C. $B(-6; -1; 8)$ D. $B(2; 1; 8)$.”, “Trong không gian $Oxyz$, cho $B(1; -6; 0)$, $\overrightarrow{AB} = (-3; 5; 2)$. Tìm tọa độ điểm $A$.
A. $A(-2; -1; 2)$ B. $A(4; -11; -2)$ C. $A(4; -1; -2)$ D. $A(-4; 11; 2)$.”, “Trong không gian $Oxyz$, cho $A(5; -1; 3)$ và vectơ $\overrightarrow{BA} = (2; -4; 1)$. Tìm tọa độ điểm $B$.
A. $B(3; 3; 2)$ B. $B(7; -5; 4)$ C. $B(3; -5; 2)$ D. $B(7; 3; 4)$.”, “Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $B(7; -3; 10)$ và vectơ $\overrightarrow{AB} = (1; 8; -5)$. Hãy xác định tọa độ của điểm $A$.”], “dap_an_va_giai_thich”: [“1. Đáp án đúng: B.
Giải thích: Ta có $A(x_A, y_A, z_A)$.
$x_A = x_B – x_{\overrightarrow{AB}} = 3 – 2 = 1$.
$y_A = y_B – y_{\overrightarrow{AB}} = 1 – (-3) = 4$.
$z_A = z_B – z_{\overrightarrow{AB}} = -4 – 1 = -5$.
Vậy $A(1; 4; -5)$.”, “2. Đáp án đúng: B.
Giải thích: Ta có $x_B = x_A + x_{\overrightarrow{AB}} = -2 + 4 = 2$.
$y_B = y_A + y_{\overrightarrow{AB}} = 0 + 1 = 1$.
$z_B = z_A + z_{\overrightarrow{AB}} = 5 + (-3) = 2$.
Vậy $B(2; 1; 2)$.”, “3. Đáp án đúng: B.
Giải thích: Ta có $x_A = x_B – x_{\overrightarrow{AB}} = 1 – (-3) = 4$.
$y_A = y_B – y_{\overrightarrow{AB}} = -6 – 5 = -11$.
$z_A = z_B – z_{\overrightarrow{AB}} = 0 – 2 = -2$.
Vậy $A(4; -11; -2)$.”, “4. Đáp án đúng: A.
Giải thích: Vì $\overrightarrow{BA} = (2; -4; 1)$, nên $\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA} = (-2; 4; -1)$.
Ta có $x_B = x_A – x_{\overrightarrow{AB}} = 5 – (-2) = 7$. (SAI, phải dùng công thức $x_A = x_B + x_{\overrightarrow{AB}}$ hoặc $x_B = x_A – x_{\overrightarrow{AB}}$, nhưng ở đây tìm B).
Ta dùng $x_B = x_A – x_{\overrightarrow{AB}}$ với $\overrightarrow{AB} = (-2; 4; -1)$.
$x_B = 5 – (-2) = 7$. (Dùng $\overrightarrow{AB}$) -> $x_B=7$ (Không đúng đáp án A).
Phải sử dụng công thức: $\overrightarrow{BA} = (x_A – x_B, y_A – y_B, z_A – z_B)$.
Ta có: $x_A – x_B = 2 \Rightarrow 5 – x_B = 2 \Rightarrow x_B = 3$.
$y_A – y_B = -4 \Rightarrow -1 – y_B = -4 \Rightarrow y_B = 3$.
$z_A – z_B = 1 \Rightarrow 3 – z_B = 1 \Rightarrow z_B = 2$.
Vậy $B(3; 3; 2)$.”, “5. Đáp án: $A(6; -11; 15)$.
Lời giải ngắn gọn: Sử dụng công thức $A(x_B – x_{\overrightarrow{AB}}, y_B – y_{\overrightarrow{AB}}, z_B – z_{\overrightarrow{AB}})$.
$x_A = 7 – 1 = 6$.
$y_A = -3 – 8 = -11$.
$z_A = 10 – (-5) = 15$.
Vậy $A(6; -11; 15)$.”]}