Trong không gian $Oxyz$, cho $\triangle ABC$ biết $A(2;0;0)$, $B(0;2;0)$ và $C(1;1;3)$

Trong không gian $Oxyz$, cho $\triangle ABC$ biết $A(2;0;0)$, $B(0;2;0)$ và $C(1;1;3)$. Gọi $H(x_H;y_H;z_H)$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $A$ xuống đường thẳng $BC$. Tính $x_H+y_H+z_H$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Đáp án: 3,09
Lời giải: Ta có $\overrightarrow{BC}=(1;-1;3)$, $\overrightarrow{BH}=(x_H;y_H-2;z_H)$, $\overrightarrow{AH}=(x_H-2;y_H;z_H)$.
Từ giả thiết, suy ra $\overrightarrow{BH}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng phương, do đó $\dfrac{x_H}{1}=\dfrac{y_H-2}{-1}=\dfrac{z_H}{3}$.
Từ đây suy ra $x_H+y_H=2$ và $3x_H-z_H=0$.(1)
Mà $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC} =0$ nên $x_H-y_H+3z_H=2$. (2)
Từ $(1)$ và $(2)$, ta giải được $x_H=\dfrac{4}{1}$, $y_H=\dfrac{18}{1}$ và $z_H=\dfrac{12}{11}$.
Do đó $x_H+y_H+z_H=\dfrac{34}{11}\approx 3{,}09$.