Cho hàm số $y=f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}+x-1}{x-1}$.

Bài toán gốc

Cho hàm số $y=f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}+x-1}{x-1}$.

a) Hàm số đã cho có đạo hàm ${f}’\left( x \right)=\dfrac{x\left( x-3 \right)}{{{(x-1)}^{2}}}$ với $x\ne 1$.

b) Đường thẳng $y=x+2$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

c) Hàm số có giá trị cực đại bằng 1.

d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng $\left( -1;1 \right)$ bằng 1.

Lời giải: Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.
$f\left( x \right)=x+2+\dfrac{1}{x-1};{f}’\left( x \right)=1-\dfrac{1}{{{(x-1)}^{2}}}=\dfrac{x\left( x-2 \right)}{{{(x-1)}^{2}}}$ với $x\ne 1$.
Đồ thị của hàm số đã cho có tiệm cận xiên là $y=x+2$.
Bảng biến thiên:

(Sai) Hàm số đã cho có đạo hàm ${f}’\left( x \right)=\dfrac{x\left( x-3 \right)}{{{(x-1)}^{2}}}$ với $x\ne 1$.
(Đúng) Đường thẳng $y=x+2$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
(Đúng) Hàm số có giá trị cực đại bằng 1.
(Đúng) Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng $\left( -1;1 \right)$ bằng 1.

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là bài toán khảo sát hàm số phân thức hữu tỉ dạng $y = \dfrac{Ax^2+Bx+C}{Dx+E}$. Phương pháp giải chủ yếu bao gồm: 1) Chia đa thức để tìm tiệm cận xiên $y=ax+b$. 2) Tính đạo hàm $f'(x)$ và phân tích dấu của đạo hàm để lập bảng biến thiên, từ đó xác định các điểm cực trị (giá trị cực đại/cực tiểu) và giới hạn. 3) Sử dụng bảng biến thiên hoặc khảo sát trực tiếp đạo hàm trên một khoảng/đoạn để tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất.

Bài toán tương tự

Cho hàm số $y=f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}+3x+5}{x+1}$. Mệnh đề nào sau đây là SAI?A. Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là $y=x+2$.B. Đạo hàm của hàm số là ${f}’\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}+2x-2}}{{{(x+1)}^{2}}}$.C. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng $1+2\sqrt{3}$.D. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[ 0; 2 \right]$ bằng 5.Đáp án đúng: D.Lời giải ngắn gọn: Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}$.Ta có $f(x) = \dfrac{(x+1)(x+2) + 3}{x+1} = x + 2 + \dfrac{3}{x+1}$. (Đúng A)Tiệm cận xiên: $y=x+2$.Đạo hàm: ${f}’\left( x \right)=1-\dfrac{3}{{{(x+1)}^{2}}}=\dfrac{{{(x+1)}^{2}}-3}{{{(x+1)}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{2}}+2x+1-3}{{{(x+1)}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{2}}+2x-2}{{{(x+1)}^{2}}}$. (Đúng B)${f}'(x)=0 \Leftrightarrow x^2+2x-2=0$. Có hai nghiệm $x_1 = -1 – \sqrt{3}$ (Cực đại) và $x_2 = -1 + \sqrt{3}$ (Cực tiểu).Giá trị cực tiểu: $y_{CT} = f(-1+\sqrt{3}) = (-1+\sqrt{3}) + 2 + \dfrac{3}{(-1+\sqrt{3})+1} = 1+\sqrt{3} + \dfrac{3}{\sqrt{3}} = 1+\sqrt{3} + \sqrt{3} = 1+2\sqrt{3}$. (Đúng C)Xét trên đoạn $\left[ 0; 2 \right]$: $x_2 = -1 + \sqrt{3} \approx 0.732 \in [0; 2]$.$f(0) = 5$. $f(2) = \dfrac{4+6+5}{2+1} = \dfrac{15}{3} = 5$.$f_{CT} = 1+2\sqrt{3} \approx 4.464$.Vì $f_{CT}$ là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền xác định $( -1, +\infty)$, và $f_{CT} < f(0)$ và $f_{CT} < f(2)$, nên giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[ 0; 2 \right]$ là $1+2\sqrt{3}$.Vậy, mệnh đề D (Giá trị nhỏ nhất bằng 5) là SAI.