Hàm số $y=f(x)=x^3-3x+2+m$, gọi giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên $[-3;2]$ là $a$. Tìm $m$ để $a=3$?

Bài toán gốc

Hàm số $y=f(x)=x^3-3x+2+m$, gọi giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên $[-3;2]$ là $a$. Tìm $m$ để $a=3$?

A. $22$.

B. $18$.

C. $19$.

D. $20$.

Lời giải: $y(-1)=4+m,y(1)=0+m,y(-3)=-16+m,y(2)=4+m$

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng toán tìm tham số m dựa trên giá trị nhỏ nhất (min) của hàm số đa thức trên một đoạn đóng. Phương pháp giải là sử dụng quy tắc tìm GTLN, GTNN trên đoạn: 1. Tính đạo hàm và tìm các nghiệm (điểm cực trị) thuộc đoạn đã cho. 2. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị vừa tìm được và tại hai đầu mút của đoạn. 3. Giá trị nhỏ nhất (min) là giá trị nhỏ nhất trong các giá trị đã tính. 4. Thiết lập phương trình theo điều kiện GTNN đã cho để giải tìm m.

Bài toán tương tự

Hàm số $y=g(x)=x^3-12x+5+m$. Gọi giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=g(x)$ trên đoạn $[0; 3]$ là $a$. Tìm $m$ để $a=1$.
A. $10$.
B. $12$.
C. $14$.
D. $16$.

Đáp án đúng: B. $12$.

Lời giải ngắn gọn: Ta có $g'(x) = 3x^2 – 12$. $g'(x)=0$ khi $x=\pm 2$. Điểm cực trị $x=2$ thuộc đoạn $[0; 3]$. Ta tính các giá trị:
$g(0) = 5+m$.
$g(2) = 2^3 – 12(2) + 5 + m = 8 – 24 + 5 + m = -11+m$.
$g(3) = 3^3 – 12(3) + 5 + m = 27 – 36 + 5 + m = -4+m$.
Giá trị nhỏ nhất là $a = \min\{5+m, -11+m, -4+m\} = -11+m$.
Theo đề bài $a=1$, ta có: $-11+m=1 \Rightarrow m=12$.