Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = 4x + \dfrac{4}x$ với $x {>} 0$

Bài toán gốc

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = 4x + \dfrac{4}x$ với $x {>} 0$

A. $\min\limits_{(0; +\infty)} f(x) = 4$.

B. $\min\limits_{(0; +\infty)} f(x) = 16$.

C. $\min\limits_{(0; +\infty)} f(x) = 8$.

D. $\min\limits_{(0; +\infty)} f(x) = 12$.

Lời giải: Ta có $f(x) = 4x + \dfrac{4}x$ suy ra $f^{\prime}(x) = 4 – \dfrac{4}{x^{2}}$.
Giải phương trình $f^{\prime}(x) = 0$ ta được nghiệm $x = 1$ (loại nghiệm âm).
Ta có $f\left(1\right) = 8$. Lập bảng biến thiên ta được $\min\limits_{(0; +\infty)} f(x) = 8$.

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng bài toán tìm giá trị nhỏ nhất (cực trị) của hàm số có dạng $f(x) = Ax + B/x$ trên miền $x>0$. Phương pháp giải phổ biến nhất là sử dụng đạo hàm để tìm điểm cực trị và lập bảng biến thiên. Ngoài ra, do $A>0$ và $B>0$, bài toán này cũng có thể giải nhanh bằng bất đẳng thức AM-GM (Cauchy).

Bài toán tương tự

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $g(x) = 9x + \dfrac{1}{x}$ với $x {>} 0$.

A. $\min\limits_{(0; +\infty)} g(x) = 9$.

B. $\min\limits_{(0; +\infty)} g(x) = 6$.

C. $\min\limits_{(0; +\infty)} g(x) = 3$.

D. $\min\limits_{(0; +\infty)} g(x) = 12$.

Đáp án đúng: B. $\min\limits_{(0; +\infty)} g(x) = 6$.

Lời giải ngắn gọn: Vì $x>0$, ta áp dụng bất đẳng thức AM-GM: $g(x) = 9x + \dfrac{1}{x} \ge 2\sqrt{9x \cdot \dfrac{1}{x}} = 2\sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6$. Dấu bằng xảy ra khi $9x = \dfrac{1}{x} \Leftrightarrow x^2 = \dfrac{1}{9} \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{3}$. Vậy giá trị nhỏ nhất là 6.