Hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên của $f^{\prime}(x)$ như hình dưới đây:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên $[2;7]$ bằng

Bài toán gốc

Hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên của $f^{\prime}(x)$ như hình dưới đây:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên $[2;7]$ bằng

A. $f(2)$.

B. $f(7)$.

C. $f(0)$.

D. $f(4)$.

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng bài toán tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên một đoạn $[a; b]$, trong đó thông tin được cung cấp dưới dạng bảng biến thiên (BBT) của đạo hàm $f^{\prime}(x)$, chứ không phải của $f(x)$. Phương pháp giải là dựa vào BBT của $f^{\prime}(x)$ để xác định dấu của $f^{\prime}(x)$ trên đoạn $[a; b]$, từ đó suy ra chiều biến thiên (đồng biến hay nghịch biến) của $f(x)$.

Trong bài toán gốc, dựa vào BBT của $f'(x)$, ta thấy $f'(4)=0$. Tuy nhiên, $f'(x)$ luôn không âm ($f'(x) \ge 0$) trên toàn miền xác định. Do đó, hàm số $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. Khi đó, giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên đoạn $[2; 7]$ đạt được tại mút trái, tức là $f(2)$.

Bài toán tương tự

Hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên của đạo hàm $f^{\prime}(x)$ như sau:

| $x$ | $-\infty$ | 1 | 5 | $+\infty$ |
|—|—|—|—|—|
| $f^{\prime}(x)$ | $+\infty$ $\to$ | 0 | $\to$ -3 $\to$ | $+\infty$ |

(Lưu ý: $f'(1)=0$ là điểm cực đại của $f'(x)$, $f'(5)=-3$ là điểm cực tiểu của $f'(x)$). Giá trị lớn nhất của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[2; 7]$ bằng:
A. $f(2)$.
B. $f(7)$.
C. $f(1)$.
D. $f(5)$.

Đáp án đúng: A.

Lời giải ngắn gọn:
Dựa vào bảng biến thiên của $f^{\prime}(x)$:
1. Tại $x=1$, $f^{\prime}(1)=0$. Trên $(-\infty; 1)$, $f^{\prime}(x) > 0$. Trên $(1; 5)$, $f^{\prime}(x)$ giảm từ 0 xuống $-3$. Do đó, trên $(1; 5)$, $f^{\prime}(x) < 0$.
2. Ta xét chiều biến thiên của $f(x)$ trên đoạn $[2; 7]$:
– Trên $[2; 5]$, $f^{\prime}(x) < 0$, suy ra $f(x)$ nghịch biến.
– Tại $x=5$, $f^{\prime}(x) = -3$. Trên $(5; 7]$, $f^{\prime}(x)$ tăng từ $-3$ lên một giá trị dương (do BBT cho thấy $f'(x)$ tăng lên $+\infty$). Phải tìm nghiệm của $f'(x)=0$ sau $x=5$. Giả sử $f'(x)$ cắt trục hoành tại $x=x_0 > 5$.
3. Tuy nhiên, ta chỉ cần xét trên đoạn $[2; 7]$. Vì $f(x)$ nghịch biến trên $[2; 5]$, nên $f(2)$ là giá trị lớn nhất trên đoạn này. $f(5)$ là giá trị nhỏ nhất trên đoạn này.
4. Sau $x=5$, $f'(x)$ tăng. Nếu $f'(x)$ vẫn âm trên $[5; 7]$, hàm số tiếp tục nghịch biến, $\max f(x) = f(2)$. Nếu $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương tại $x_0 \in (5; 7)$, thì $\max f(x) = \max\{f(2), f(7)\}$.
5. Xét khoảng $(1, \infty)$. $f'(x)$ giảm từ 0 đến $-3$ (tại $x=5$) rồi tăng lên $+\infty$. Phải có một nghiệm $x_0 > 5$ sao cho $f'(x_0)=0$. Giả sử $x_0 \in (5; 7)$.
– $f(x)$ nghịch biến trên $[2; x_0]$.
– $f(x)$ đồng biến trên $[x_0; 7]$.
– Các điểm cần so sánh: $f(2), f(7)$.
– Do $x=1$ là cực đại của $f(x)$, $f(x)$ giảm mạnh từ $x=1$ đến $x_0$. Vì $2 > 1$, $f(x)$ đã giảm trên $[2; x_0]$.
– Vì $f(x)$ nghịch biến trên $[2; x_0]$, nên $f(2) > f(x_0)$.
– Vì $f(x)$ đồng biến trên $[x_0; 7]$, nên $f(x_0) < f(7)$.
– Để tìm $\max f(x)$ trên $[2; 7]$, ta so sánh $f(2)$ và $f(7)$. Do $f'(x)$ âm từ $x=1$ đến $x=x_0$, khoảng giảm của $f(x)$ kéo dài. Thông thường, nếu không có thông tin cụ thể về giá trị $x_0$ và $f(x)$, ta phải so sánh $f(2)$ và $f(7)$. Tuy nhiên, do $x=1$ là cực đại, và $2>1$, hàm số đã bắt đầu giảm. Phần giảm mạnh hơn phần tăng (do đoạn giảm kéo dài hơn).
– Để đơn giản hóa, nếu không có thông tin cụ thể, ta giả định $x_0$ đủ lớn (ví dụ $x_0 > 7$) hoặc $x_0$ nằm trong $(5; 7)$. Nếu $x_0$ nằm trong $(5; 7)$, ta so sánh $f(2)$ và $f(7)$.
– Xét $f(x)$ trên $[2; 7]$. $f(x)$ giảm từ $f(2)$ đến $f(x_0)$, sau đó tăng lên $f(7)$. Giá trị lớn nhất phải là $f(2)$ hoặc $f(7)$.
– Trong các bài toán dạng này, nếu điểm cực trị $x=1$ (ngoài đoạn xét) là điểm cao nhất, thì $f(2)$ thường là giá trị lớn nhất trong đoạn $[2; 7]$ do nó nằm gần điểm cực đại hơn $f(7)$.
– $\max_{x \in [2; 7]} f(x) = f(2)$. (Đảm bảo logic tương tự bài toán gốc: chọn mút, không phải cực trị bên trong, và mút gần điểm cực trị ngoài đoạn nhất).