Hàm số $y=f(x)$ có $y=f^{\prime}(x)=ax^2+bx+c$ có đồ thị như hình dưới đây:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên $[1;3]$ bằng

Bài toán gốc

Hàm số $y=f(x)$ có $y=f^{\prime}(x)=ax^2+bx+c$ có đồ thị như hình dưới đây:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên $[1;3]$ bằng

A. $f(1)$.

B. $f(0)$.

C. $f(3)$.

D. $f(2)$.

Lời giải: $y^{\prime}=x^2-2x$

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên một đoạn $[a; b]$ dựa vào dấu của hàm số đạo hàm $y=f'(x)$. Phương pháp giải là dựa vào đồ thị của $f'(x)$ để xác định các khoảng đồng biến ($f'(x) > 0$) và nghịch biến ($f'(x) < 0$) của hàm $f(x)$ trên đoạn $[a; b]$. Lập bảng biến thiên sơ lược, sau đó so sánh giá trị của hàm số tại các điểm cực trị thuộc đoạn $[a; b]$ và tại hai đầu mút $f(a), f(b)$. Trong trường hợp không thể so sánh trực tiếp qua bảng biến thiên, cần sử dụng tích phân xác định $\int_{x_1}^{x_2} f'(x) dx = f(x_2) - f(x_1)$ để xác định sự chênh lệch giá trị giữa các điểm mút.

Bài toán tương tự

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, biết rằng $f^{\prime}(x)=x^2-4x+3$. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[0; 2]$ là:\r\n\r\nA. $f(1)$.\r\nB. $f(2)$.\r\nC. $f(0)$.\r\nD. $f(3)$.\r\n\r\nĐáp án đúng: C. $f(0)$.\r\n\r\nLời giải ngắn gọn:\r\n1. Xét $f'(x) = x^2 – 4x + 3 = 0$, ta được hai nghiệm $x=1$ và $x=3$. Các điểm cực trị của $f(x)$ là $x=1$ (cực đại) và $x=3$ (cực tiểu).\r\n2. Xét dấu $f'(x)$ trên đoạn $[0; 2]$:\r\n- Trên $(0; 1)$, $f'(x) > 0$, hàm số $f(x)$ đồng biến.\r\n- Trên $(1; 2)$, $f'(x) < 0$, hàm số $f(x)$ nghịch biến.\r\n3. Dựa vào bảng biến thiên, giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên $[0; 2]$ phải là $f(0)$ hoặc $f(2)$.\r\n4. Ta so sánh $f(0)$ và $f(2)$ bằng tích phân:\r\n$f(2) - f(0) = \int_{0}^{2} f'(x) dx = \int_{0}^{2} (x^2 - 4x + 3) dx = [\frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x]_0^2$ \n$f(2) - f(0) = (\frac{8}{3} - 8 + 6) - 0 = \frac{8}{3} - 2 = \frac{2}{3}$.\r\n5. Vì $f(2) - f(0) = \frac{2}{3} > 0$, nên $f(2) > f(0)$.\r\nVậy, giá trị nhỏ nhất là $f(0)$.