Hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên của $f^{\prime}(x)$ như hình dưới đây:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên $[3;4]$ bằng

Bài toán gốc

Hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên của $f^{\prime}(x)$ như hình dưới đây:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên $[3;4]$ bằng

A. $f(0)$.

B. $f(4)$.

C. $f(3)$.

D. $f(-3)$.

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, sử dụng bảng biến thiên của đạo hàm $f'(x)$. Phương pháp giải là xác định dấu của $f'(x)$ trên đoạn $[a; b]$. Nếu $f'(x) \le 0$ trên $[a; b]$ (hàm nghịch biến), giá trị nhỏ nhất đạt tại $f(b)$. Nếu $f'(x) \ge 0$ trên $[a; b]$ (hàm đồng biến), giá trị nhỏ nhất đạt tại $f(a)$. (Dựa trên cấu trúc đề bài gốc, thường $f'(x) \le 0$ trên $[3; 4]$ dẫn đến đáp án $f(4)$).

Bài toán tương tự

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên của $f'(x)$ như sau: $f'(x)$ mang dấu âm ($-$)$ trên $(-\infty; -1)$, $f'(x)$ mang dấu dương ($+$) trên $(-1; +\infty)$. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng:
A. $f(2)$.
B. $f(0)$.
C. $f(-1)$.
D. $f(1)$.

Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn: Trên đoạn $[0; 2]$, ta thấy đoạn này nằm hoàn toàn trong khoảng $(-1; +\infty)$. Trong khoảng này, $f'(x) > 0$. Do đó, hàm số $f(x)$ đồng biến (tăng) trên $[0; 2]$. Giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt được tại đầu mút bên trái. Vậy $\min_{[0; 2]} f(x) = f(0)$.