Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=-x^3+3x+2$ trên $[-2;+\infty)$.

Bài toán gốc

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=-x^3+3x+2$ trên $[-2;+\infty)$.

A. $6$.

B. $3$.

C. $7$.

D. $4$.

Lời giải: Hạn chế máy tính

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số bậc ba $y=f(x)$ trên một nửa khoảng $[a; + ext{open})$. Phương pháp giải chuẩn là sử dụng đạo hàm $y’$ để lập bảng biến thiên. Sau khi tìm được các điểm cực trị thuộc miền đang xét, ta so sánh các giá trị $f(a)$, các giá trị cực trị và $ ext{lim}_{x\to+\infty} f(x)$ để kết luận GTLN (nếu tồn tại). Do đây là hàm bậc ba với hệ số $a<0$ và miền xét là $[a; +\infty)$, giới hạn khi $x \to +\infty$ sẽ là $-\infty$, nên GTLN chắc chắn tồn tại và là giá trị lớn nhất đạt được tại điểm cực đại hoặc điểm đầu mút $a$.

Bài toán tương tự

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = -x^3 + 12x – 5$ trên khoảng $[-3; + ext{open})$.
A. $11$.
B. $-5$.
C. $27$.
D. $16$.

Đ ext{áp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn:
1. Tính đạo hàm: $y’ = -3x^2 + 12$.
2. Cho $y’ = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = 2$ hoặc $x = -2$. Cả hai nghiệm này đều thuộc miền $[-3; +\infty)$.
3. Tính giá trị hàm số tại các điểm cần xét:
$y(-3) = -(-27) + 12(-3) – 5 = 27 – 36 – 5 = -14$.
$y(-2) = -(-8) + 12(-2) – 5 = 8 – 24 – 5 = -21$ (Cực tiểu).
$y(2) = -(8) + 12(2) – 5 = -8 + 24 – 5 = 11$ (Cực đại).
4. Xét giới hạn: $\text{lim}_{x\to+\infty} y = \text{lim}_{x\to+\infty} (-x^3) = -\infty$.
5. So sánh các giá trị: $\text{max} y = 11$.