Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên $[-1;3]$ có đồ thị như hình dưới đây

Bài toán gốc

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên $[-1;3]$ có đồ thị như hình dưới đây

A. 1.

B. -3.

C. -2.

D. 0.

Lời giải: $y=f(x)=x^3-3x^2+1$

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng toán tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất (GTLN, GTNN) của hàm số liên tục trên một đoạn đóng. Phương pháp giải chuẩn tắc là sử dụng đạo hàm để xác định các điểm cực trị nằm trong đoạn, sau đó so sánh giá trị của hàm số tại các điểm cực trị này và tại hai mút của đoạn. Giá trị nhỏ nhất trong số các giá trị đó là GTNN cần tìm.

Bài toán tương tự

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^4 – 2x^2 + 5$ trên đoạn $[0; 2]$.

A. 5.
B. 4.
C. 13.
D. 3.

Đáp án đúng: B. 4.

Lời giải ngắn gọn:
1. Ta có đạo hàm: $y’ = 4x^3 – 4x = 4x(x^2 – 1)$.
2. Giải phương trình $y’ = 0$, ta được $x=0$, $x=1$, $x=-1$.
3. Các điểm cực trị nằm trong đoạn $[0; 2]$ là $x=0$ và $x=1$.
4. Tính giá trị hàm số tại các điểm cực trị và mút đoạn:
$y(0) = 0^4 – 2(0^2) + 5 = 5$.
$y(1) = 1^4 – 2(1^2) + 5 = 4$.
$y(2) = 2^4 – 2(2^2) + 5 = 16 – 8 + 5 = 13$.
5. So sánh các giá trị $5, 4, 13$. Giá trị nhỏ nhất là 4.