Hàm số $y= f(x) = -3x^3+3x^2+3x+6$ đạt giá trị lớn nhất trên đoạn $[2, 3]$ bằng?

Bài toán gốc

Hàm số $y= f(x) = -3x^3+3x^2+3x+6$ đạt giá trị lớn nhất trên đoạn $[2, 3]$ bằng?

A. $\max\limits_{x \in [2, 3]} f(x) = -39$.

B. $\max\limits_{x \in [2, 3]} f(x) = 6$.

C. $\max\limits_{x \in [2, 3]} f(x) = 6$.

D. $\max\limits_{x \in [2, 3]} f(x) = 0$.

Lời giải: Trên đoạn $[2, 3]$, ta có
Đạo hàm $f^{\prime}(x) = -9x^2+6x+3$.
Cho $f^{\prime}(x)= 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x_1=-\dfrac{1}{3}\\ x_2=1.\end{array}\right.$
Ta có $f(2) = 0; f(3)= -39; x_1 \text{(loại)}; x_2 \text{(loại)}.$
Do đó giá trị lớn nhất của hàm số là $\max\limits_{x \in [2, 3]} f(x) = 0$

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số liên tục trên một đoạn kín. Phương pháp giải chung là sử dụng đạo hàm để tìm các điểm cực trị (nghiệm của $f'(x)=0$). Sau đó, so sánh giá trị của hàm số tại các điểm cực trị thuộc đoạn đang xét và tại hai mút của đoạn đó. Giá trị lớn nhất trong các giá trị thu được chính là GTLN cần tìm.

Bài toán tương tự

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $g(x) = x^3 – 3x + 2$ trên đoạn $[0, 2]$. Đáp án đúng: $\max\limits_{x \in [0, 2]} g(x) = 4$. Lời giải ngắn gọn: Đạo hàm $g'(x) = 3x^2 – 3$. Cho $g'(x)=0 \Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=-1$. Ta chỉ xét $x=1 \in [0, 2]$. Tính giá trị tại các điểm: $g(0) = 2$, $g(1) = 0$, $g(2) = 4$. So sánh các giá trị này, ta có GTLN là 4.