Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=-x^3-3x^2-2$ trên $[-4;102]$.

Bài toán gốc

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=-x^3-3x^2-2$ trên $[-4;102]$.

A. $-1092425$.

B. $-1092422$.

C. $-1092421$.

D. $-1092419$.

Lời giải: Hạn chế máy tính

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là bài toán tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất (GTLN/GTNN) của hàm số đa thức trên một đoạn kín (tức là trên đoạn $[a; b]$). Phương pháp giải chuẩn là sử dụng đạo hàm:
1. Tính đạo hàm $f'(x)$.
2. Tìm các nghiệm của phương trình $f'(x) = 0$ (các điểm cực trị).
3. Tính giá trị của hàm số tại các nghiệm vừa tìm được (nếu chúng thuộc đoạn $[a; b]$) và tại hai mút $a$ và $b$.
4. So sánh các giá trị này. Giá trị nhỏ nhất là GTNN cần tìm.

Bài toán tương tự

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^3 – 6x^2 + 5$ trên đoạn $[0; 5]$.

Đáp án: $-27$

Lời giải ngắn gọn:
1. Tính đạo hàm: $y’ = 3x^2 – 12x = 3x(x – 4)$.
2. Giải $y’ = 0$, ta được $x=0$ hoặc $x=4$. Cả hai nghiệm đều thuộc đoạn $[0; 5]$.
3. Tính giá trị tại các điểm và mút:
$y(0) = 0^3 – 6(0)^2 + 5 = 5$.
$y(4) = 4^3 – 6(4)^2 + 5 = 64 – 96 + 5 = -27$.
$y(5) = 5^3 – 6(5)^2 + 5 = 125 – 150 + 5 = -20$.
4. So sánh các giá trị: $\{5, -27, -20\}$.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $-27$ (đạt được tại $x=4$).