Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=f(x)$ trên $[-4;0]$ có bảng biến thiên như hình dưới đây

Bài toán gốc

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=f(x)$ trên $[-4;0]$ có bảng biến thiên như hình dưới đây

A. -6.

B. -2.

C. -3.

D. 1.

Lời giải: $y=f(x)=x^3+6x^2+9x-2$

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số đa thức trên một đoạn đóng (cụ thể là hàm bậc ba). Phương pháp giải chuẩn mực là sử dụng đạo hàm:
1. Tính đạo hàm $f'(x)$.
2. Tìm các điểm cực trị $x_i$ bằng cách giải phương trình $f'(x) = 0$.
3. Loại bỏ các nghiệm không thuộc đoạn $[-4; 0]$.
4. Tính giá trị hàm số tại các điểm cực trị thuộc đoạn và tại hai đầu mút của đoạn ($x=-4$ và $x=0$).
5. GTLN là giá trị lớn nhất trong các giá trị đã tính.

Bài toán tương tự

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = x^3 – 3x + 4$ trên đoạn $[-2; 0]$.

Đáp án đúng: 6.

Lời giải ngắn gọn:
1. Tính đạo hàm: $y’ = 3x^2 – 3$.
2. Tìm điểm cực trị: $y’ = 0 \Leftrightarrow 3x^2 – 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = -1$.
3. Xét các điểm thuộc đoạn $[-2; 0]$: $x = -1$ thuộc đoạn, $x = 1$ không thuộc đoạn. Các điểm cần xét là $x = -2, x = -1, x = 0$.
4. Tính giá trị:
$y(-2) = (-2)^3 – 3(-2) + 4 = -8 + 6 + 4 = 2$.
$y(-1) = (-1)^3 – 3(-1) + 4 = -1 + 3 + 4 = 6$.
$y(0) = (0)^3 – 3(0) + 4 = 4$.
5. So sánh: $\max\{2, 6, 4\} = 6$. Vậy giá trị lớn nhất là 6.