Cho hàm số $f(x) = \dfrac{x+3}{x+3}$. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-2, 8]$ là

Bài toán gốc

Cho hàm số $f(x) = \dfrac{x+3}{x+3}$. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-2, 8]$ là

A. $8$.

B. $3$.

C. $\dfrac{3}{11}$.

D. $3$.

Lời giải: Trên đoạn $[-2, 8]$, ta có
$f(-2)=3$ và $f(8)=\dfrac{3}{11}$.
Do đó giá trị lớn nhất bằng $3$

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng toán tìm Giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số liên tục trên một đoạn kín [a, b]. Phương pháp chung là kiểm tra các giá trị của hàm số tại các điểm cực trị thuộc đoạn [a, b] (nếu có) và tại hai điểm mút a, b. Đối với hàm số đã cho trong đề bài ($f(x) = (x+3)/(x+3)$), hàm số này bằng 1 với mọi $x
e -3$. Tuy nhiên, dựa vào lời giải và kết quả (f(-2)=3, f(8)=3/11), ta hiểu rằng đề bài gốc có thể là một hàm phân thức khác (ví dụ $f(x) = rac{x+5}{x+3}$ hoặc tương tự) mà việc tìm GTLN/GTNN thường chỉ cần kiểm tra các điểm mút nếu hàm số đơn điệu.

Bài toán tương tự

Cho hàm số $f(x) = \dfrac{x+4}{x-2}$. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[3, 6]$ là:
A. 7
B. 10/4
C. 2
D. 1

Đáp án đúng: A. 7
Lời giải ngắn gọn: Hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[3, 6]$. Ta tính đạo hàm: $f'(x) = \dfrac{1(x-2) – (x+4)1}{(x-2)^2} = \dfrac{-6}{(x-2)^2}$. Vì $f'(x) < 0$ trên đoạn $[3, 6]$, hàm số nghịch biến. Giá trị lớn nhất đạt được tại điểm mút bên trái:
$f(3) = \dfrac{3+4}{3-2} = \dfrac{7}{1} = 7$.
$f(6) = \dfrac{6+4}{6-2} = \dfrac{10}{4} = 2.5$.
Vậy, GTLN là 7.