Hàm số $y=x+\dfrac{9}{x}$ đạt giá trị lớn nhất trên $[2;5]$ tại điểm

Bài toán gốc

Hàm số $y=x+\dfrac{9}{x}$ đạt giá trị lớn nhất trên $[2;5]$ tại điểm

A. $x=2$.

B. $x=3$.

C. $x=5$.

D. $x=6$.

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số trên một đoạn đóng. Phương pháp giải chuẩn là sử dụng đạo hàm:1. Tính đạo hàm $y’$.2. Tìm các điểm cực trị $x_0$ trong đoạn $[a; b]$ bằng cách giải phương trình $y’=0$.3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị vừa tìm được và tại hai đầu mút $a, b$.4. So sánh các giá trị này để xác định GTLN (Max). (Với bài toán gốc, hàm $y=x+9/x$, $y’=1-9/x^2$. Cực trị là $x=3$. So sánh $y(2)=6.5, y(3)=6, y(5)=6.8$. GTLN đạt tại $x=5$).

Bài toán tương tự

Hàm số $y=x+\dfrac{16}{x}$ đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[1;5]$ tại điểm: A. $x=1$. B. $x=2$. C. $x=4$. D. $x=5$. Đáp án đúng: C. Lời giải ngắn gọn:1. Tính đạo hàm: $y’ = 1 – \dfrac{16}{x^2}$.2. Giải $y’ = 0$: $x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4$. Điểm cực trị thỏa mãn đoạn $[1;5]$ là $x=4$.3. Tính giá trị tại các điểm đầu mút và điểm cực trị: $y(1) = 1 + 16/1 = 17$. $y(4) = 4 + 16/4 = 8$. $y(5) = 5 + 16/5 = 5 + 3.2 = 8.2$.4. So sánh: Giá trị nhỏ nhất là 8, đạt tại $x=4$.