[4] Trong không gian \(Oxyz,\) cho điểm \(A\left( {2\,; – \,1\,; – 3} \right)\)và mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình: \(\,{\left( {x – 4} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} + {\left( {z – 4} \right)^2} = 25.\) Gọi \(\left( C \right)\) là giao tuyến của \(\left( S \right)\)với mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right).\) Lấy hai điểm \(M,\,N\)trên \(\left( C \right)\) sao cho \(MN = 2\sqrt 5 .\) Khi tứ diện \(OAMN\)có thể tích lớn nhất thì đường thẳng \(MN\)đi qua điểm nào trong số các điểm dưới đây?

A. \(\left( {5\,;\,5\,;\,0} \right).\)

B. \(\left( {1\,;\,\frac{{21}}{5}\,;\,\frac{{28}}{5}} \right).\)

C. \(\left( {0\,;\, – 4\,;\,3} \right).\)

D. \(\left( {0\,; – \,7\,;\,14} \right).\)

Lời giải:

Mặt cầu \((S)\):\(\,{\left( {x – 4} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} + {\left( {z – 4} \right)^2} = 25\) có tâm \(I\left( {4;\,3\,;\,4} \right)\)và bán kính \(R = 5.\)

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(I\)lên \(\left( {Oyz} \right) \Rightarrow H\left( {0\,;\,3;\,4} \right) \Rightarrow IH = 4\)

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm là \(H\left( {0;\,\,3\,;\,4} \right)\)và bán kính \(r = \sqrt {{R^2} – I{H^2}} = \sqrt {25 – 16} = 3.\)

Gọi \(E\)là trung điểm của \(MN,\)suy ra \(ME = \sqrt 5 \)và \(HE \bot MN.\)

\(OH = 5,\,HE = \sqrt {{r^2} – M{E^2}} = 2.\) Suy ra \(O\) nằm ngoài \(\left( C \right).\)

Gọi \(K\)là hình chiếu vuông góc của \(O\)lên \(MN.\)

\({V_{OAMN}} = \frac{1}{3}d\left( {A;\left( {Oyz} \right)} \right).{S_{\Delta OMN}} = \frac{1}{3}.2.\frac{1}{2}OK.MN\)\( = \frac{{2\sqrt 5 }}{3}OK\)

Ta có: \(OK \le OE \le OH + HE = 5 + 2 = 7\)

\( \Rightarrow {V_{AOMN}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{3}OK\)\( \le \frac{{2\sqrt 5 }}{3}.7 = \frac{{14\sqrt 5 }}{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(K \equiv E\) và \(H\) nằm trong đoạn \(OE\).

Khi đó: \(\overrightarrow {OE} = \frac{7}{5}\overrightarrow {OH} \Rightarrow E\left( {0;\,\frac{{21}}{5}\,;\,\frac{{28}}{5}} \right).\)

\(MN\) đi qua điểm \(E\left( {0;\,\frac{{21}}{5}\,;\,\frac{{28}}{5}\,} \right)\)và nhận \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow i ,\overrightarrow {OE} } \right] = \left( {0;\, – \frac{{28}}{5};\,\,\frac{{21}}{5}} \right)\)làm một vectơ chỉ phương.

Chọn \(\overrightarrow {u’} = \left( {0;\,\, – 4;\,\,3} \right)\) làm VTCP của \(MN\).

Do đó \(MN\) có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = \frac{{21}}{5} – 4t\\z = \frac{{28}}{5} + 3t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).

Vậy, \(MN\)đi qua điểm \(\left( {0\,; – \,7\,;\,14} \right).\)