Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hình vuông \(OABC\), với \(A\left( {4;0} \right),\,B\left( {4;4} \right),\,C\left( {0;4} \right)\). Một đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số bậc ba\(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\), với \(a \ne 0\) đi qua hai điểm \(O\) và \(B\), đồng thời tiếp xúc với hai đường thẳng \(OA\), \(BC\); chia hình vuông \(OABC\) thành 4 phần (như hình vẽ). Gọi \({S_1},\,{S_2}\) lần lượt là diện tích của 2 miền chấm bi, gạch chéo như hình vẽ.

Đặt \(k = \frac{{{S_2}}}{{{S_1}}}\) và \(T = 2025k – 2024\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hình vuông \(OABC\), với \(A\left( {4;0} \right),\,B\left( {4;4} \right),\,C\left( {0;4} \right)\). Một đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số bậc ba\(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\), với \(a \ne 0\) đi qua hai điểm \(O\) và \(B\), đồng thời tiếp xúc với hai đường thẳng \(OA\), \(BC\); chia hình vuông \(OABC\) thành 4 phần (như hình vẽ). Gọi \({S_1},\,{S_2}\) lần lượt là diện tích của 2 miền chấm bi, gạch chéo như hình vẽ.

Đặt \(k = \frac{{{S_2}}}{{{S_1}}}\) và \(T = 2025k – 2024\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(T \in \left( {2023;2025} \right)\).

B. \(T \in \left( {27;29} \right)\).

C. \(T \in \left( {8910;8912} \right)\).

D. \(T \in \left( {5844;5846} \right)\).

Lời giải:

Ta đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ:

Đặt \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\).

Đồ thị \(\left( C \right)\) đi qua gốc tọa độ \(O\) nên \(d = 0\).

Giả sử hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx\) có hai điểm cực trị \({x_1},\,{x_2}\).

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và trục hoành là

\(a{x^3} + b{x^2} + cx = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\a{x^2} + bx + c = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\)

Phương trình (1) sẽ có nghiệm kép \(x = {x_2}\) nên \({x_2} = – \frac{b}{{2a}}\).

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(\left( {BC} \right):y = 4\) là

\(a{x^3} + b{x^2} + cx = 4 \Leftrightarrow a{x^3} + b{x^2} + cx – 4 = 0\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Phương trình (2) sẽ có 1 nghiệm \(x = 4\) và 1 nghiệm kép \(x = {x_1}\) nên theo định lí Vi-ét ta được\(4 + {x_1} + {x_1} = – \frac{b}{a} \Rightarrow {x_1} = – \frac{b}{{2a}} – 2\) hay \({x_1} = {x_2} – 2\) (3)

Mặt khác do tính chất đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba nên đồ thị \(\left( C \right)\) đi qua tâm \(I\left( {2;2} \right)\) của hình vuông \(OABC\), (điểm \(I\) chính là điểm uốn của đồ thị \(\left( C \right)\)) nên \({x_1} + {x_2} = 2{x_I} = 4\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 1\\{x_2} = 3\end{array} \right.\).

Khi đó đồ thị \(\left( C \right)\) đi qua 3 điểm \(B\left( {4;4} \right),\,I\left( {2;2} \right),\,M\left( {3;0} \right)\) nên ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}64a + 16b + 4c = 4\\8a + 4b + 2c = 2\\27a + 9b + 3c = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = – 6\\c = 9\end{array} \right.\). Suy ra \(f\left( x \right) = {x^3} – 6{x^2} + 9x\).

Hay \({S_1} = \int\limits_0^1 {\left( {4 – {x^3} + 6{x^2} – 9x} \right)} \,{\rm{d}}x = \frac{5}{4}\) (đvdt) và \({S_2} = \int\limits_0^3 {\left( {{x^3} – 6{x^2} + 9x} \right)} \,{\rm{d}}x = \frac{{27}}{4}\) (đvdt).

Suy ra \(k = \frac{{{S_2}}}{{{S_1}}} = \frac{{27}}{5}\) và \(T = 2025 \cdot \frac{{27}}{5} – 2024 = 8911\).