Từ một tấm tôn hình chữ nhật \(ABCD\) với \(AB = 30\,cm,AD = \frac{{55\pi }}{3}\,cm\). Người ta cắt miếng tôn theo đường hình \(\sin \) như hình vẽ bên để được hai miếng tôn nhỏ. Biết \(AM = 20\,cm\),\(CN = 15\,cm\),\(BE = 5\pi \,cm\).Tính thể tích của lọ hoa được tạo thành bằng cách quay miếng tôn lớn quanh trục \(AD\) (kết quả làm tròn đến hàng trăm).

Từ một tấm tôn hình chữ nhật \(ABCD\) với \(AB = 30\,cm,AD = \frac{{55\pi }}{3}\,cm\). Người ta cắt miếng tôn theo đường hình \(\sin \) như hình vẽ bên để được hai miếng tôn nhỏ. Biết \(AM = 20\,cm\),\(CN = 15\,cm\),\(BE = 5\pi \,cm\).Tính thể tích của lọ hoa được tạo thành bằng cách quay miếng tôn lớn quanh trục \(AD\) (kết quả làm tròn đến hàng trăm).

A. \(81788\,c{m^3}\) .

B. \(87388\,c{m^3}\) .

C.\(83788\,c{m^3}\).

D.\(7883\,c{m^3}\) .

Lời giải:

Chọn hệ trục \(Oxy\) sao cho \(A \equiv O\), \(D \in Ox\),\(B \in Oy\).

Ta có \(BE = 5\pi \) suy ra hàm số tuần hoàn với chu kì \(T = 20\pi \).

Suy ra phương trình đồ thị hình \(Sin\) cần tìm có dạng: \(y = a\sin \left( {\frac{x}{{10}}} \right) + b\).

Do đồ thị hình đi qua \(M\left( {0;20} \right)\), \(N\left( {\frac{{55\pi }}{3};15} \right)\) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a\sin \left( {\frac{1}{{10}}.0} \right) + b = 20\\a\sin \left( {\frac{1}{{10}}.\frac{{55\pi }}{3}} \right) + b = 15\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 10\\b = 20\end{array} \right.\).

Ta có phương trình đồ thị hình cần tìm là \(y = 10\sin \left( {\frac{x}{{10}}} \right) + 20\).

Thể tích cần tìm là: \(\pi \int_0^{\frac{{55\pi }}{3}} {{{\left( {10\sin \left( {\frac{x}{{10}}} \right) + 20} \right)}^2}{\rm{d}}x} \simeq 83788\,c{m^3}\).