Hình vẽ sau thể hiện một vật rắn có đáy là hình tròn bán kính bằng 1. Các mặt cắt song song, vuông góc với đáy là các tam giác đều. Tính thể tích của vật rắn đó.

Hình vẽ sau thể hiện một vật rắn có đáy là hình tròn bán kính bằng 1. Các mặt cắt song song, vuông góc với đáy là các tam giác đều. Tính thể tích của vật rắn đó.

A. \(\frac{{4\pi \sqrt 3 }}{3}\).

B. \(\frac{{4\sqrt 3 }}{3}\).

C. \(\frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

D. \(\frac{{2\pi \sqrt 3 }}{3}\).

Lời giải:

Trên mặt phẳng đáy của vật rắn, chọn hệ trục toạ độ \(Oxy\) sao cho \(O\) là tâm đường tròn đáy. Khi đó đường tròn đáy bán kính bằng 1 nên có phương trình \({x^2} + {y^2} = 1\).

Cắt vật rắn bởi một mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) và cắt trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\) \(\left( { – 1 < x < 1} \right)\), thì thiết diện là một tam giác đều \(ABC\) như hình vẽ.

Ta có \(B\left( {x;\,y} \right)\) với \(y = \sqrt {1 – {x^2}} \).

Tam giác \(ABC\) đều có cạnh \(AB = 2y = 2\sqrt {1 – {x^2}} \), đường cao \(\sqrt 3 .y = \sqrt 3 .\sqrt {1 – {x^2}} \).

Diện tích tam giác \(ABC\) là \(S\left( x \right) = \frac{1}{2}.2\sqrt {1 – {x^2}} .\sqrt 3 .\sqrt {1 – {x^2}} = \sqrt 3 \left( {1 – {x^2}} \right)\).

Thể tích của vật rắn là \(V = \int\limits_{ – 1}^1 {S\left( x \right)dx} = \int\limits_{ – 1}^1 {\sqrt 3 \left( {1 – {x^2}} \right)dx} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\) (đvtt).