Gọi \(\left( D \right)\) là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đường cong \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) và \(y = g\left( x \right) = – {x^2} + mx + n\) (như hình vẽ).

Biết \({S_{\left( D \right)}} = 9\) và đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) có đỉnh \(I\left( {0;2} \right)\). Khi cho miền được giới hạn bởi hai đường cong trên và hai đường thẳng \(x = – 1;\,x = 2\) quay quanh trục \(Ox\), ta nhận được vật thể tròn xoay có thể tích \(V\). Giá trị của \(V\) bằng

Gọi \(\left( D \right)\) là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đường cong \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) và \(y = g\left( x \right) = – {x^2} + mx + n\) (như hình vẽ).

Biết \({S_{\left( D \right)}} = 9\) và đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) có đỉnh \(I\left( {0;2} \right)\). Khi cho miền được giới hạn bởi hai đường cong trên và hai đường thẳng \(x = – 1;\,x = 2\) quay quanh trục \(Ox\), ta nhận được vật thể tròn xoay có thể tích \(V\). Giá trị của \(V\) bằng

A. \(\frac{{295\pi }}{{15}}\).

B. \(\frac{{295\pi }}{{19}}\).

C. \(\frac{{259\pi }}{{19}}\).

D. \(\frac{{259\pi }}{{15}}\).

Lời giải:

Parabol \(y = g\left( x \right)\) có đỉnh \(I\left( {0;2} \right)\) suy ra \(m = 0;\,\,n = 2 \Rightarrow y = g\left( x \right) = – {x^2} + 2\)

Phương trình hoành độ giao điểm của \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) là

\(a{x^2} + bx + c = – {x^2} + 2 \Leftrightarrow \left( {a + 1} \right){x^2} + bx + c – 2 = 0\) \(\left( 1 \right)\)

Dựa vào hình vẽ, ta có phương trình hoành độ giao điểm của \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) cũng có dạng là \(\left( {a + 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {a + 1} \right)\left( {{x^2} – x – 2} \right) = 0\) \(\left( 2 \right)\)

Ta có \({S_{\left( D \right)}} = 9 \Leftrightarrow \int\limits_{ – 1}^2 {\left| {\left( {a + 1} \right)\left( {{x^2} – x – 2} \right)} \right|{\rm{d}}x} = 9 \Leftrightarrow \frac{9}{2}\left| {a + 1} \right| = 9 \Leftrightarrow a + 1 = 2 \Leftrightarrow a = 1\)

Với \(a = 1\) từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta suy ra: \(2{x^2} + bx + c – 2 = 2{x^2} – 2x – 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = – 2\\c = – 2\end{array} \right.\)

Vì hai đường \(y = f\left( x \right) = {x^2} – 2x – 2\) và \(y = g\left( x \right) = – {x^2} + 2\) nằm khác phía trục \(Ox\) nên ta lấy đối xứng đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2} – 2x – 2\) qua trục \(Ox\) ta được đồ thị hàm số\(y = – \left( {{x^2} – 2x – 2} \right) = – {x^2} + 2x + 2\).

Xét \( – {x^2} + 2 – \left( { – {x^2} + 2x + 2} \right) = – 2x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} – {x^2} + 2 \ge – {x^2} + 2x + 2 > 0,\forall x \in \left[ { – 1;0} \right]\\0 < – {x^2} + 2 \le – {x^2} + 2x + 2,\forall x \in \left[ {0;2} \right]\end{array} \right.\)

Suy ra thể tích khối tròn xoay cần tìm là

\(V = \pi \int\limits_{ – 1}^0 {{{\left( { – {x^2} + 2} \right)}^2}{\rm{d}}x} + \pi \int\limits_0^2 {{{\left( { – {x^2} + 2x + 2} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \frac{{259\pi }}{{15}}\).